Question

Llamamos a una fracción $\dfrac{a}{b},$ no necesariamente en su forma más simple, especial si $a$ y $b$ son enteros positivos cuya suma es $15.$ ¿Cuántos enteros distintos se pueden escribir como la suma de dos fracciones especiales, no necesariamente diferentes?

Call a fraction $\dfrac{a}{b},$ not necessarily in the simplest form, special if $a$ and $b$ are positive integers whose sum is $15.$ How many distinct integers can be written as the sum of two, not necessarily different, special fractions?

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Solución:

En su forma reducida, las fracciones especiales incluyen los enteros $2 = \tfrac{10}{5},$ $4 = \tfrac{12}{3},$ $14 = \tfrac{14}{1};$ los semienteros $\tfrac12,$ $\tfrac32,$ $\tfrac{13}{2};$ los de cuarto de entero $\tfrac14$ y $\tfrac{11}{4};$ y otras.

Dos especiales suman un entero solo cuando sus partes fraccionarias se cancelan:

Los pares de enteros dan $4, 6, 8, 16, 18, 28.$ Los pares de semienteros $\left(\tfrac12, \tfrac32, \tfrac{13}{2}\right)$ dan $1, 2, 3, 7, 8, 13.$ El par de cuartos $\tfrac14 + \tfrac{11}{4}$ da $3.$

Los enteros distintos son $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 13, 16, 18, 28,$ un total de $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The special fractions in lowest terms include the integers $2 = \tfrac{10}{5},$ $4 = \tfrac{12}{3},$ $14 = \tfrac{14}{1};$ the half-integers $\tfrac12,$ $\tfrac32,$ $\tfrac{13}{2};$ the quarter-integers $\tfrac14$ and $\tfrac{11}{4};$ and others.

Two specials add to an integer only when their fractional parts cancel:

Integer pairs give $4, 6, 8, 16, 18, 28.$ Half-integer pairs $\left(\tfrac12, \tfrac32, \tfrac{13}{2}\right)$ give $1, 2, 3, 7, 8, 13.$ The quarter pair $\tfrac14 + \tfrac{11}{4}$ gives $3.$

The distinct integers are $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 13, 16, 18, 28,$ a total of $11.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12B Fall Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años