2021 AMC 12B Fall Problema 5
Intenta el Problema 5 del 2021 AMC 12B Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Fall, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
5.
Llamamos a una fracción no necesariamente en su forma más simple, especial si y son enteros positivos cuya suma es ¿Cuántos enteros distintos se pueden escribir como la suma de dos fracciones especiales, no necesariamente diferentes?
Call a fraction not necessarily in the simplest form, special if and are positive integers whose sum is How many distinct integers can be written as the sum of two, not necessarily different, special fractions?
Respuesta: C
Pista pequeña:
Enumera las fracciones especiales y observa cuáles son enteras, semienteras o de cuarto de entero.
List the special fractions and note which are integers, half-integers, or quarter-integers
Pista grande:
Dos especiales suman un entero solo cuando sus partes fraccionarias se cancelan.
Two specials sum to an integer only when their fractional parts cancel
Solución:
Al enumerar para los enteros son las fracciones cuya parte fraccionaria es son y tienen partes fraccionarias complementarias
Las partes fraccionarias restantes son y ninguno de sus complementos aparece. Así, solo los casos entero, semientero y de cuarto pueden dar sumas enteras.
Los pares de enteros dan Los pares de semienteros dan El par de cuartos da
Los enteros distintos son un total de
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Listing for the integers are the fractions with fractional part are and have complementary fractional parts
The remaining fractional parts are and none of their complements occurs. Thus only the integer, half-integer, and quarter cases can give integer sums.
Integer pairs give Half-integer pairs give The quarter pair gives
The distinct integers are a total of
Thus, the correct answer is C.
El Problema 5 en otros años
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