Question

Un piso de $8$ pies por $10$ pies se recubre con baldosas cuadradas de $1$ pie por $1$ pie. Cada baldosa tiene un patrón formado por cuatro cuartos de círculo blancos de radio $\dfrac12$ pie centrados en cada esquina de la baldosa. La parte restante de la baldosa está sombreada. ¿Cuántos pies cuadrados del piso están sombreados?

An $8$ -foot by $10$ -foot floor is tiled with square tiles of size $1$ foot by $1$ foot. Each tile has a pattern consisting of four white quarter circles of radius $\dfrac12$ foot centered at each corner of the tile. The remaining portion of the tile is shaded. How many square feet of the floor are shaded?

$80 - 20\pi$

$60 - 10\pi$

$80 - 10\pi$

$60 + 10\pi$

$80 + 10\pi$

Solución:

Los cuatro cuartos de círculo de una baldosa forman juntos un círculo completo de radio $\dfrac12,$ con área $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4}.$

Así que cada baldosa tiene un área sombreada de $1 - \dfrac{\pi}{4}$ pies cuadrados.

Hay $8 \cdot 10 = 80$ baldosas, así que el área sombreada total es $80\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) = 80 - 20\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The four quarter circles in a tile together form one full circle of radius $\dfrac12,$ with area $\pi\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac{\pi}{4}.$

So each tile has shaded area $1 - \dfrac{\pi}{4}$ square feet.

There are $8 \cdot 10 = 80$ tiles, so the total shaded area is $80\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) = 80 - 20\pi.$

Thus, the correct answer is A.

2005 AMC 12B Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años