Question

La expresión $2+\sqrt2+\dfrac1{2+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2-2}$ es igual a:

The expression $2+\sqrt2+\dfrac1{2+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2-2}$ equals:

$2$

$2-\sqrt2$

$2+\sqrt2$

$2\sqrt2$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

Respuesta: A

Conceptos:radical racionalización del denominador manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Racionaliza los dos términos recíprocos antes de sumarlos

Rationalize the two reciprocal terms before adding them

Pista grande:

Los dos recíprocos se simplifican a cantidades cuya suma es $-\sqrt2$

The two reciprocals simplify to quantities whose sum is $-\sqrt2$

Solución:

Al racionalizar se obtiene $\begin{aligned} \frac1{2+\sqrt2}&=\frac{2-\sqrt2}{2},\\ \frac1{\sqrt2-2}&=-\frac{2+\sqrt2}{2}. \end{aligned}$ Su suma es $-\sqrt2.$ Por lo tanto, la expresión completa es $2+\sqrt2-\sqrt2=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Rationalizing gives $\begin{aligned} \frac1{2+\sqrt2}&=\frac{2-\sqrt2}{2},\\ \frac1{\sqrt2-2}&=-\frac{2+\sqrt2}{2}. \end{aligned}$ Their sum is $-\sqrt2.$ Therefore the whole expression is $2+\sqrt2-\sqrt2=2.$

Thus, the correct answer is A.

1958 AMC 12 Problema 5

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años