Soluciones del 1958 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El valor de $\left[2-3(2-3)^{-1}\right]^{-1}$ es:

The value of $\left[2-3(2-3)^{-1}\right]^{-1}$ is:

$5$

$-5$

$\dfrac15$

$-\dfrac15$

$\dfrac53$

Conceptos:exponente orden de las operaciones fracción

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Evalúa la diferencia más interna antes de aplicar el exponente $-1$

Evaluate the innermost difference before using the exponent $-1$

Pista grande:

Un exponente de $-1$ indica que se toma el recíproco

An exponent of $-1$ means to take a reciprocal

Solución:

Como $2-3=-1,$ su recíproco también es $-1.$ Por lo tanto, $\left[2-3(-1)\right]^{-1} =5^{-1}=\frac15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $2-3=-1,$ its reciprocal is also $-1.$ Therefore $\left[2-3(-1)\right]^{-1} =5^{-1}=\frac15.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Si $\dfrac1x-\dfrac1y=\dfrac1z,$ entonces $z$ es igual a:

If $\dfrac1x-\dfrac1y=\dfrac1z,$ then $z$ equals:

$y-x$

$x-y$

$\dfrac{y-x}{xy}$

$\dfrac{xy}{y-x}$

$\dfrac{xy}{x-y}$

Conceptos:ecuación racional manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Combina $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ usando un denominador común

Combine $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ over a common denominator

Pista grande:

Después de hallar $\frac{1}{z},$ toma el recíproco para obtener $z$

After finding $\frac{1}{z},$ take the reciprocal to obtain $z$

Solución:

Al combinar las fracciones, $\frac1z=\frac1x-\frac1y =\frac{y-x}{xy}.$ Al tomar recíprocos se obtiene $z=\frac{xy}{y-x}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Combining the fractions, $\frac1z=\frac1x-\frac1y =\frac{y-x}{xy}.$ Taking reciprocals gives $z=\frac{xy}{y-x}.$

Therefore, the correct answer is D.

3.

De las siguientes expresiones, la que es igual a $\dfrac{a^{-1}b^{-1}}{a^{-3}-b^{-3}}$ es:

Of the following expressions, the one equal to $\dfrac{a^{-1}b^{-1}}{a^{-3}-b^{-3}}$ is:

$\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}$

$\dfrac{a^2b^2}{b^3-a^3}$

$\dfrac{ab}{b^3-a^3}$

$\dfrac{a^3-b^3}{ab}$

$\dfrac{a^2b^2}{a-b}$

Conceptos:exponente manipulación algebraica ecuación racional

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Reescribe cada potencia negativa como un recíproco

Rewrite every negative power as a reciprocal

Pista grande:

Expresa $a^{-3}-b^{-3}$ con el denominador común $a^3b^3$

Express $a^{-3}-b^{-3}$ over the common denominator $a^3b^3$

Solución:

Tenemos $a^{-3}-b^{-3} =\frac{b^3-a^3}{a^3b^3}.$ Por consiguiente, $\frac{\frac{1}{ab}}{\frac{b^3-a^3}{a^3b^3}} =\frac{a^2b^2}{b^3-a^3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We have $a^{-3}-b^{-3} =\frac{b^3-a^3}{a^3b^3}.$ Hence $\frac{\frac{1}{ab}}{\frac{b^3-a^3}{a^3b^3}} =\frac{a^2b^2}{b^3-a^3}.$

Thus, the correct answer is B.

4.

En la expresión $\dfrac{x+1}{x-1},$ se reemplaza cada $x$ por $\dfrac{x+1}{x-1}.$ La expresión resultante, evaluada en $x=\dfrac12,$ es igual a:

In the expression $\dfrac{x+1}{x-1},$ each $x$ is replaced by $\dfrac{x+1}{x-1}.$ The resulting expression, evaluated for $x=\dfrac12,$ equals:

$3$

$-3$

$1$

$-1$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:función manipulación algebraica ecuación racional

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Sea $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ y simplifica $f(f(x))$

Let $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ and simplify $f(f(x))$

Pista grande:

Combina por separado el numerador y el denominador de la fracción compuesta

Combine the numerator and denominator of the composed fraction separately

Solución:

Sea $f(x)=\frac{x+1}{x-1}.$ Entonces $\begin{aligned} f(f(x)) &=\frac{\frac{x+1}{x-1}+1} {\frac{x+1}{x-1}-1}\\ &=\frac{\frac{2x}{x-1}}{\frac{2}{x-1}} =x. \end{aligned}$ Para $x=\frac{1}{2},$ el valor es $\frac{1}{2},$ que no aparece en la lista.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $f(x)=\frac{x+1}{x-1}.$ Then $\begin{aligned} f(f(x)) &=\frac{\frac{x+1}{x-1}+1} {\frac{x+1}{x-1}-1}\\ &=\frac{\frac{2x}{x-1}}{\frac{2}{x-1}} =x. \end{aligned}$ At $x=\frac{1}{2},$ the value is $\frac{1}{2},$ which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

5.

La expresión $2+\sqrt2+\dfrac1{2+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2-2}$ es igual a:

The expression $2+\sqrt2+\dfrac1{2+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2-2}$ equals:

$2$

$2-\sqrt2$

$2+\sqrt2$

$2\sqrt2$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

Conceptos:radical racionalización del denominador manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Racionaliza los dos términos recíprocos antes de sumarlos

Rationalize the two reciprocal terms before adding them

Pista grande:

Los dos recíprocos se simplifican a cantidades cuya suma es $-\sqrt2$

The two reciprocals simplify to quantities whose sum is $-\sqrt2$

Solución:

Al racionalizar se obtiene $\begin{aligned} \frac1{2+\sqrt2}&=\frac{2-\sqrt2}{2},\\ \frac1{\sqrt2-2}&=-\frac{2+\sqrt2}{2}. \end{aligned}$ Su suma es $-\sqrt2.$ Por lo tanto, la expresión completa es $2+\sqrt2-\sqrt2=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Rationalizing gives $\begin{aligned} \frac1{2+\sqrt2}&=\frac{2-\sqrt2}{2},\\ \frac1{\sqrt2-2}&=-\frac{2+\sqrt2}{2}. \end{aligned}$ Their sum is $-\sqrt2.$ Therefore the whole expression is $2+\sqrt2-\sqrt2=2.$

Thus, the correct answer is A.

6.

La media aritmética de $\dfrac{x+a}{x}$ y $\dfrac{x-a}{x},$ cuando $x\ne0,$ es:

The arithmetic mean between $\dfrac{x+a}{x}$ and $\dfrac{x-a}{x},$ when $x\ne0,$ is:

$2,$ si $a\ne0$

$2,$ if $a\ne0$

$1$

$1,$ solo si $a=0$

$1,$ only if $a=0$

$\dfrac ax$

$x$

Conceptos:media manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Suma las dos expresiones dadas y divide entre $2$

Add the two given expressions and divide by $2$

Pista grande:

Los términos con $a$ se cancelan en el numerador

The $a$ -terms cancel in the numerator

Solución:

La media aritmética es $\begin{aligned} &\frac12\left(\frac{x+a}{x}+\frac{x-a}{x}\right)\\ &\qquad=\frac12\left(\frac{2x}{x}\right)=1. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The arithmetic mean is $\begin{aligned} &\frac12\left(\frac{x+a}{x}+\frac{x-a}{x}\right)\\ &\qquad=\frac12\left(\frac{2x}{x}\right)=1. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

7.

Una recta pasa por los puntos $(-1,1)$ y $(3,9).$ Su intersección con el eje $x$ es:

A straight line joins the points $(-1,1)$ and $(3,9).$ Its $x$ -intercept is:

$-\dfrac32$

$-\dfrac23$

$\dfrac25$

$2$

$3$

Conceptos:geometría analítica pendiente ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Primero halla la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos dados

First find the slope through the two given points

Pista grande:

Usa uno de los puntos para escribir la ecuación de la recta y luego toma $y=0$

Use one point to write the line equation, then set $y=0$

Solución:

La pendiente es $\frac{9-1}{3-(-1)}=2.$ Usando $(-1,1),$ la recta es $y=2x+3.$ Al tomar $y=0$ se obtiene $x=-\frac32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The slope is $\frac{9-1}{3-(-1)}=2.$ Using $(-1,1),$ the line is $y=2x+3.$ Setting $y=0$ gives $x=-\frac32.$

Thus, the correct answer is A.

8.

¿Cuáles de estos cuatro números, $\sqrt{\pi^2},$ $\sqrt[3]{0.8},$ $\sqrt[4]{0.00016},$ $\sqrt[3]{-1}\cdot\sqrt{(0.09)^{-1}},$ son racionales?

Which of these four numbers, $\sqrt{\pi^2},$ $\sqrt[3]{0.8},$ $\sqrt[4]{0.00016},$ $\sqrt[3]{-1}\cdot\sqrt{(0.09)^{-1}},$ is (are) rational?

ninguno

none

todos

all

el primero y el cuarto

the first and fourth

solo el cuarto

only the fourth

solo el primero

only the first

Conceptos:radical decimal exponente

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Evalúa cada radical por separado y recuerda que $\pi$ es irracional

Evaluate each radical separately and remember that $\pi$ is irrational

Pista grande:

Para la última expresión, usa $\sqrt[3]{-1}=-1$ y $(0.09)^{-1}=\frac{100}{9}$

The last expression uses $\sqrt[3]{-1}=-1$ and $(0.09)^{-1}=\frac{100}{9}$

Solución:

El primer número es $\pi,$ que es irracional. La raíz cúbica de $\frac{4}{5}$ es irracional. Además, $\sqrt[4]{0.00016} =\sqrt[4]{16\cdot10^{-5}}$ es irracional. El cuarto número es $(-1)\sqrt{\frac{100}{9}}=-\frac{10}{3},$ que es racional.

Por lo tanto, solo el cuarto es racional y la respuesta correcta es D.

The first number is $\pi,$ which is irrational. The cube root of $\frac{4}{5}$ is irrational. Also $\sqrt[4]{0.00016} =\sqrt[4]{16\cdot10^{-5}}$ is irrational. The fourth number is $(-1)\sqrt{\frac{100}{9}}=-\frac{10}{3},$ which is rational.

Therefore, only the fourth is rational, and the correct answer is D.

9.

Un valor de $x$ que satisface la ecuación $x^2+b^2=(a-x)^2$ es:

A value of $x$ satisfying the equation $x^2+b^2=(a-x)^2$ is:

$\dfrac{b^2+a^2}{2a}$

$\dfrac{b^2-a^2}{2a}$

$\dfrac{a^2-b^2}{2a}$

$\dfrac{a-b}{2}$

$\dfrac{a^2-b^2}{2}$

Conceptos:ecuación lineal manipulación algebraica diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Desarrolla $(a-x)^2$

Expand $(a-x)^2$

Pista grande:

Los términos $x^2$ se cancelan y queda una ecuación lineal en $x$

The $x^2$ -terms cancel, leaving a linear equation in $x$

Solución:

Al desarrollar el lado derecho, $x^2+b^2=a^2-2ax+x^2.$ Al cancelar $x^2$ y resolver se obtiene $\begin{aligned} 2ax&=a^2-b^2,\\ x&=\frac{a^2-b^2}{2a}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Expanding the right side, $x^2+b^2=a^2-2ax+x^2.$ Cancelling $x^2$ and solving gives $\begin{aligned} 2ax&=a^2-b^2,\\ x&=\frac{a^2-b^2}{2a}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

10.

¿Para qué valores reales de $k,$ distintos de $k=0,$ tiene raíces reales la ecuación $x^2+kx+k^2=0$ ?

For what real values of $k,$ other than $k=0,$ does the equation $x^2+kx+k^2=0$ have real roots?

k<0

k>0

$k\ge1$

todos los valores de $k$

all values of $k$

ningún valor de $k$

no values of $k$

Conceptos:cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Usa la condición del discriminante para que una cuadrática tenga raíces reales

Use the discriminant condition for a quadratic to have real roots

Pista grande:

Calcula $k^2-4k^2$ y usa la restricción $k\ne0$

Compute $k^2-4k^2$ and use the restriction $k\ne0$

Solución:

El discriminante es $k^2-4k^2=-3k^2.$ Para todo $k$ real no nulo, es negativo, por lo que la cuadrática no tiene raíces reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The discriminant is $k^2-4k^2=-3k^2.$ For every nonzero real $k,$ this is negative, so the quadratic has no real roots.

Thus, the correct answer is E.

11.

El número de raíces que satisfacen la ecuación $\sqrt{5-x}=x\sqrt{5-x}$ es:

The number of roots satisfying the equation $\sqrt{5-x}=x\sqrt{5-x}$ is:

ilimitado

unlimited

$3$

$2$

$1$

$0$

Conceptos:radical propiedad del producto nulo sustitución

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Lleva ambos lados a un mismo miembro y factoriza el radical común

Move both sides to one side and factor the common radical

Pista grande:

Examina por separado cuándo el radical es cero y cuándo el otro factor es cero

Check separately when the radical is zero and when its remaining factor is zero

Solución:

Al factorizar se obtiene $(1-x)\sqrt{5-x}=0.$ Por lo tanto, $x=1$ o $5-x=0,$ que da $x=5.$ Ambos valores están en el dominio $x\le5$ y satisfacen la ecuación original.

Así que hay dos raíces y la respuesta correcta es C.

Factoring gives $(1-x)\sqrt{5-x}=0.$ Thus either $x=1$ or $5-x=0,$ giving $x=5.$ Both values lie in the domain $x\le5$ and satisfy the original equation.

Therefore, there are two roots, and the correct answer is C.

12.

Si $P=\dfrac{s}{(1+k)^n},$ entonces $n$ es igual a:

If $P=\dfrac{s}{(1+k)^n},$ then $n$ equals:

$\dfrac{\log(\frac{s}{P})}{\log(1+k)}$

$\log\dfrac{s}{P(1+k)}$

$\log\dfrac{s-P}{1+k}$

$\log\dfrac{s}{P}+\log(1+k)$

$\dfrac{\log s}{\log(P(1+k))}$

Conceptos:logaritmo exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Toma logaritmos en ambos lados de la ecuación

Take logarithms of both sides of the equation

Pista grande:

Usa $\log P=\log s-n\log(1+k)$ y despeja $n$

Use $\log P=\log s-n\log(1+k)$ and isolate $n$

Solución:

Al tomar logaritmos, $\log P=\log s-n\log(1+k).$ Por lo tanto, $n=\frac{\log s-\log P}{\log(1+k)} =\frac{\log(\frac{s}{P})}{\log(1+k)}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Taking logarithms, $\log P=\log s-n\log(1+k).$ Therefore $n=\frac{\log s-\log P}{\log(1+k)} =\frac{\log(\frac{s}{P})}{\log(1+k)}.$

Thus, the correct answer is A.

13.

La suma de dos números es $10;$ su producto es $20.$ La suma de sus recíprocos es:

The sum of two numbers is $10;$ their product is $20.$ The sum of their reciprocals is:

$\dfrac1{10}$

$\dfrac12$

$1$

$2$

$4$

Conceptos:simetría (álgebra)fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Llama $x$ y $y$ a los números, pero no los calcules por separado

Call the numbers $x$ and $y$ , but do not solve for them individually

Pista grande:

Usa $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$

Use $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$

Solución:

Si los números son $x$ y $y,$ entonces $\frac1x+\frac1y =\frac{x+y}{xy} =\frac{10}{20} =\frac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the numbers are $x$ and $y,$ then $\frac1x+\frac1y =\frac{x+y}{xy} =\frac{10}{20} =\frac12.$

Therefore, the correct answer is B.

14.

En una fiesta, un grupo de chicos y chicas baila de la siguiente manera: un chico baila con $5$ chicas, otro baila con $6$ chicas, y así sucesivamente, hasta que el último baila con todas las chicas. Si $b$ representa el número de chicos y $g$ el número de chicas, entonces:

At a dance party a group of boys and girls exchange dances as follows: one boy dances with $5$ girls, a second boy dances with $6$ girls, and so on, the last boy dancing with all the girls. If $b$ represents the number of boys and $g$ the number of girls, then:

$b=g$

$b=\dfrac g5$

$b=g-4$

$b=g-5$

Es imposible determinar una relación entre $b$ y $g$ sin conocer $b+g$

It is impossible to determine a relation between $b$ and $g$ without knowing $b+g$

Conceptos:sucesión aritmética ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Los números de parejas forman la sucesión $5,6,7,\ldots,g$

The numbers of partners form the sequence $5,6,7,\ldots,g$

Pista grande:

Hay $b$ términos; expresa el último con la fórmula de una sucesión aritmética

There are $b$ terms, so express the last term using the arithmetic-sequence formula

Solución:

El último de los $b$ términos de la sucesión $5,6,7,\ldots$ es $5+(b-1)=b+4.$ Este último número es igual al total $g$ de chicas. Por eso, $g=b+4,$ o $b=g-4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The last of the $b$ terms in the sequence $5,6,7,\ldots$ is $5+(b-1)=b+4.$ This last number equals the total number $g$ of girls. Hence $g=b+4,$ or $b=g-4.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Un cuadrilátero está inscrito en un círculo. Si se inscribe un ángulo en cada uno de los cuatro segmentos exteriores al cuadrilátero, la suma de estos cuatro ángulos, en grados, es:

A quadrilateral is inscribed in a circle. If an angle is inscribed into each of the four segments outside the quadrilateral, the sum of these four angles, expressed in degrees, is:

$1080$

$900$

$720$

$540$

$360$

Conceptos:cuadrilátero cíclico ángulo inscrito arco suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Las medidas de los cuatro arcos determinados por los lados del cuadrilátero suman $360^\circ$

Let the four arcs cut off by the quadrilateral’s sides have measures summing to $360^\circ$

Pista grande:

Un ángulo en el segmento exterior de un lado subtiende el arco mayor complementario

An angle in the outside segment of a side subtends the complementary major arc

Solución:

Sean $\alpha_1,\ldots,\alpha_4$ las medidas de los cuatro arcos menores determinados por los lados; su suma es $360^\circ.$ El ángulo del segmento exterior correspondiente al arco $\alpha_i$ subtiende el otro arco, por lo que mide $\frac{360^\circ-\alpha_i}{2}.$ Así, la suma de los cuatro ángulos es $\frac{4(360^\circ)-360^\circ}{2}=540^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the four minor arcs cut off by the sides have measures $\alpha_1,\ldots,\alpha_4,$ whose sum is $360^\circ.$ The angle in the outside segment corresponding to arc $\alpha_i$ subtends the other arc, so its measure is $\frac{360^\circ-\alpha_i}{2}.$ The sum of the four angles is therefore $\frac{4(360^\circ)-360^\circ}{2}=540^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

16.

El área de un círculo inscrito en un hexágono regular es $100\pi.$ El área del hexágono es:

The area of a circle inscribed in a regular hexagon is $100\pi.$ The area of the hexagon is:

$600$

$300$

$200\sqrt2$

$200\sqrt3$

$120\sqrt5$

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio polígono regular área

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El radio del círculo es la apotema del hexágono regular

The circle’s radius is the apothem of the regular hexagon

Pista grande:

Si la apotema es $r,$ el lado del hexágono es $2r\tan30^\circ$

For apothem $r,$ the hexagon side is $2r\tan30^\circ$

Solución:

El círculo tiene radio $r=10,$ que es la apotema del hexágono. Por tanto, el lado mide $2r\tan30^\circ=\frac{20}{\sqrt3}.$ Usando la mitad del producto del perímetro por la apotema, el área del hexágono es $\frac12\left(6\cdot\frac{20}{\sqrt3}\right)(10) =200\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The circle has radius $r=10,$ which is the hexagon’s apothem. Thus the side length is $2r\tan30^\circ=\frac{20}{\sqrt3}.$ Using one-half the product of perimeter and apothem, the hexagon’s area is $\frac12\left(6\cdot\frac{20}{\sqrt3}\right)(10) =200\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

17.

Si $x$ es positivo y $\log x\ge\log2+\dfrac12\log x,$ entonces:

If $x$ is positive and $\log x\ge\log2+\dfrac12\log x,$ then:

$x$ no tiene valor mínimo ni máximo

$x$ has no minimum or maximum value

el valor máximo de $x$ es $1$

the maximum value of $x$ is $1$

el valor mínimo de $x$ es $1$

the minimum value of $x$ is $1$

el valor máximo de $x$ es $4$

the maximum value of $x$ is $4$

el valor mínimo de $x$ es $4$

the minimum value of $x$ is $4$

Conceptos:logaritmo desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Resta $\tfrac12\log x$ de ambos lados

Subtract $\tfrac12\log x$ from both sides

Pista grande:

Multiplica por dos la desigualdad resultante y combina $2\log2$

Double the resulting inequality and combine $2\log2$

Solución:

La desigualdad da $\frac12\log x\ge\log2,$ de modo que $\log x\ge2\log2=\log4.$ Por tanto, $x\ge4,$ y el menor valor posible de $x$ es $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The inequality gives $\frac12\log x\ge\log2,$ so $\log x\ge2\log2=\log4.$ Hence $x\ge4,$ and the minimum possible value of $x$ is $4.$

Therefore, the correct answer is E.

18.

El área de un círculo se duplica cuando su radio $r$ aumenta en $n.$ Entonces $r$ es igual a:

The area of a circle is doubled when its radius $r$ is increased by $n.$ Then $r$ equals:

$n(\sqrt2+1)$

$n(\sqrt2-1)$

$n$

$n(2-\sqrt2)$

$\dfrac{n\pi}{\sqrt2+1}$

Conceptos:área del círculo radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Expresa la condición de área duplicada como $\pi(r+n)^2=2\pi r^2$

Translate the doubled-area condition into $\pi(r+n)^2=2\pi r^2$

Pista grande:

Tras tomar las raíces cuadradas positivas, resuelve $r+n=\sqrt2\,r$

After taking positive square roots, solve $r+n=\sqrt2\,r$

Solución:

La condición de área duplicada es $\pi(r+n)^2=2\pi r^2.$ Como los radios son positivos, $r+n=\sqrt2\,r.$ Entonces $r=\frac{n}{\sqrt2-1} =n(\sqrt2+1).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The doubled-area condition is $\pi(r+n)^2=2\pi r^2.$ Since the radii are positive, $r+n=\sqrt2\,r.$ Thus $r=\frac{n}{\sqrt2-1} =n(\sqrt2+1).$

Thus, the correct answer is A.

19.

Los catetos de un triángulo rectángulo son $a$ y $b$ y la hipotenusa es $c.$ Una perpendicular trazada desde el vértice divide $c$ en segmentos $r$ y $s,$ adyacentes respectivamente a $a$ y $b.$ Si $a:b=1:3,$ la razón de $r$ a $s$ es:

The sides of a right triangle are $a$ and $b$ and the hypotenuse is $c.$ A perpendicular from the vertex divides $c$ into segments $r$ and $s,$ adjacent respectively to $a$ and $b.$ If $a:b=1:3,$ then the ratio of $r$ to $s$ is:

$1:3$

$1:9$

$1:10$

$3:10$

$1:\sqrt{10}$

Conceptos:triángulo rectángulo semejanza altura

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Usa las relaciones de proyección $a^2=cr$ y $b^2=cs$

Use the projection relations $a^2=cr$ and $b^2=cs$

Pista grande:

Divide las dos ecuaciones de proyección para expresar $\frac{r}{s}$ en función de $\frac{a}{b}$

Divide the two projection equations to express $\frac{r}{s}$ in terms of $\frac{a}{b}$

Solución:

La semejanza producida por la altura a la hipotenusa da $a^2=cr,\qquad b^2=cs.$ Por lo tanto, $\frac rs=\frac{a^2}{b^2} =\left(\frac13\right)^2=\frac19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Similarity from the altitude-to-hypotenuse construction gives $a^2=cr,\qquad b^2=cs.$ Therefore $\frac rs=\frac{a^2}{b^2} =\left(\frac13\right)^2=\frac19.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Si $4^x-4^{x-1}=24,$ entonces $(2x)^x$ es igual a:

If $4^x-4^{x-1}=24,$ then $(2x)^x$ equals:

$5\sqrt5$

$\sqrt5$

$25\sqrt5$

$125$

$25$

Conceptos:exponente factorización sustitución

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Extrae el factor $4^{x-1}$ del lado izquierdo

Factor $4^{x-1}$ from the left side

Pista grande:

Una vez obtenido $4^x=32,$ reescribe ambos lados como potencias de $2$

Once $4^x=32,$ rewrite both sides as powers of $2$

Solución:

Tenemos $4^x-4^{x-1} =\frac34\,4^x=24,$ por lo que $4^x=32.$ Entonces $2^{2x}=2^5,$ de donde $x=\frac{5}{2}.$ Por lo tanto, $(2x)^x=5^{\frac{5}{2}}=25\sqrt5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We have $4^x-4^{x-1} =\frac34\,4^x=24,$ so $4^x=32.$ Thus $2^{2x}=2^5,$ giving $x=\frac{5}{2}.$ Therefore $(2x)^x=5^{\frac{5}{2}}=25\sqrt5.$

Therefore, the correct answer is C.

21.

En la figura, $\overline{CE}$ y $\overline{DE}$ son cuerdas iguales de un círculo con centro $O.$ El arco $AB$ es un cuarto de círculo. La razón entre el área del triángulo $CED$ y la del triángulo $AOB$ es:

In the accompanying figure $\overline{CE}$ and $\overline{DE}$ are equal chords of a circle with center $O.$ Arc $AB$ is a quarter-circle. Then the ratio of the area of triangle $CED$ to the area of triangle $AOB$ is:

$\sqrt2:1$

$\sqrt3:1$

$4:1$

$3:1$

$2:1$

Conceptos:cuerda círculo área del triángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Las cuerdas iguales desde $E$ hacen que el triángulo sea simétrico respecto del diámetro perpendicular

The equal chords from $E$ make the pictured triangle symmetric about the perpendicular diameter

Pista grande:

Compara las áreas por base y altura en función del radio del círculo

Compare each triangle’s base-height area in terms of the circle radius

Solución:

Sea $r$ el radio. En la figura, $\overline{CD}$ es un diámetro y $E$ es el extremo del radio perpendicular, así que $[CED]=\frac12(2r)(r)=r^2.$ Como el arco $AB$ es un cuarto de círculo, $\angle AOB=90^\circ,$ y $[AOB]=\frac12r^2.$ La razón pedida es $2:1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the circle have radius $r.$ In the pictured configuration, $\overline{CD}$ is a diameter and $E$ is the endpoint of the perpendicular radius, so $[CED]=\frac12(2r)(r)=r^2.$ Since arc $AB$ is a quarter-circle, $\angle AOB=90^\circ,$ and $[AOB]=\frac12r^2.$ The requested ratio is therefore $2:1.$

Thus, the correct answer is E.

22.

Una partícula se coloca en la parábola $y=x^2-x-6$ , en un punto $P$ cuya ordenada es $6.$ Se deja rodar hasta el punto más cercano $Q$ cuya ordenada es $-6.$ La distancia horizontal recorrida, es decir, el valor absoluto de la diferencia de las abscisas de $P$ y $Q$ , es:

A particle is placed on the parabola $y=x^2-x-6$ at a point $P$ whose ordinate is $6.$ It is allowed to roll along the parabola until it reaches the nearest point $Q$ whose ordinate is $-6.$ The horizontal distance traveled by the particle (the numerical value of the difference in the abscissas of $P$ and $Q$ ) is:

$5$

$4$

$3$

$2$

$1$

Conceptos:parábola cuadrática geometría analítica

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Halla las dos coordenadas $x$ para la ordenada $6$ y las dos para la ordenada $-6$

Find the two $x$ -coordinates where the parabola has ordinate $6$ and the two where it has ordinate $-6$

Pista grande:

Empareja cada punto superior con el punto inferior más cercano de la misma rama

Pair each upper point with the nearer lower point on the same branch

Solución:

Para $y=6,$ $x^2-x-12=0,$ así que $x=4$ o $-3.$ Para $y=-6,$ $x^2-x=0,$ así que $x=0$ o $1.$ El punto inferior más cercano a $x=4$ es $x=1,$ y el más cercano a $x=-3$ es $x=0.$ En ambos casos la distancia horizontal es $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For $y=6,$ $x^2-x-12=0,$ so $x=4$ or $-3.$ For $y=-6,$ $x^2-x=0,$ so $x=0$ or $1.$ The nearest lower point to $x=4$ is $x=1,$ and the nearest to $x=-3$ is $x=0.$ Either horizontal distance is $3.$

Therefore, the correct answer is C.

23.

Si en la expresión $x^2-3$ , $x$ aumenta o disminuye en una cantidad positiva $a,$ el cambio de la expresión es:

If, in the expression $x^2-3,$ $x$ increases or decreases by a positive amount $a,$ the expression changes by an amount:

$\pm2ax+a^2$

$2ax\pm a^2$

$\pm a^2-3$

$(x+a)^2-3$

$(x-a)^2-3$

Conceptos:polinomio manipulación algebraica sustitución

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Calcula $f(x+a)-f(x)$ y $f(x-a)-f(x)$ para $f(x)=x^2-3$

Compute $f(x+a)-f(x)$ and $f(x-a)-f(x)$ for $f(x)=x^2-3$

Pista grande:

El término constante se cancela en ambas diferencias

The constant term cancels in both differences

Solución:

Para un aumento, $\begin{aligned} &(x+a)^2-3-(x^2-3)\\ &\qquad=2ax+a^2. \end{aligned}$ Para una disminución, $\begin{aligned} &(x-a)^2-3-(x^2-3)\\ &\qquad=-2ax+a^2. \end{aligned}$ En conjunto, los cambios son $\pm2ax+a^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For an increase, $\begin{aligned} &(x+a)^2-3-(x^2-3)\\ &\qquad=2ax+a^2. \end{aligned}$ For a decrease, $\begin{aligned} &(x-a)^2-3-(x^2-3)\\ &\qquad=-2ax+a^2. \end{aligned}$ Together these changes are $\pm2ax+a^2.$

Thus, the correct answer is A.

24.

Un hombre recorre $m$ pies hacia el norte a razón de $2$ minutos por milla. Regresa al punto de partida a $2$ millas por minuto. La rapidez media de todo el viaje, en millas por hora, es:

A man travels $m$ feet due north at $2$ minutes per mile. He returns due south to his starting point at $2$ miles per minute. The average rate in miles per hour for the entire trip is:

$75$

$48$

$45$

$24$

imposible de determinar sin conocer $m$

impossible to determine without knowing the value of $m$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades media armónica

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Convierte ambas velocidades a millas por hora

Convert both stated rates to miles per hour

Pista grande:

Para distancias iguales, divide el doble de la distancia de ida entre la suma de los tiempos

For equal distances, divide twice the one-way distance by the sum of the two travel times

Solución:

La rapidez hacia el norte es $30$ mph y hacia el sur es $120$ mph. Para distancias iguales, la media del viaje de ida y vuelta es $\frac{2(30)(120)}{30+120}=48\text{ mi/h}.$ La distancia $m$ se cancela.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The northbound rate is $30$ mph, and the southbound rate is $120$ mph. For equal distances, the round-trip average is $\frac{2(30)(120)}{30+120}=48\text{ mph}.$ The distance $m$ cancels.

Therefore, the correct answer is B.

25.

Si $\log_kx\cdot\log_5k=3,$ entonces $x$ es igual a:

If $\log_kx\cdot\log_5k=3,$ then $x$ equals:

$k^6$

$5k^3$

$k^3$

$243$

$125$

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica exponente

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Usa la identidad $\log_kx\cdot\log_5k=\log_5x$

Use the chain identity $\log_kx\cdot\log_5k=\log_5x$

Pista grande:

Convierte la ecuación logarítmica resultante a forma exponencial

Convert the resulting logarithmic equation to exponential form

Solución:

Por la identidad de cambio de base, $\log_kx\cdot\log_5k=\log_5x.$ Así, $\log_5x=3,$ por lo que $x=5^3=125.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By the change-of-base identity, $\log_kx\cdot\log_5k=\log_5x.$ Hence $\log_5x=3,$ so $x=5^3=125.$

Thus, the correct answer is E.

26.

Un conjunto de $n$ números tiene suma $s.$ A cada número se le suma $20,$ luego se multiplica por $5$ y después se resta $20.$ La suma del nuevo conjunto es:

A set of $n$ numbers has the sum $s.$ Each number of the set is increased by $20,$ then multiplied by $5,$ and then decreased by $20.$ The sum of the numbers in the new set thus obtained is:

$s+20n$

$5s+80n$

$s$

$5s$

$5s+4n$

Conceptos:propiedad distributiva sumatoria

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Aplica las tres operaciones a un número original cualquiera $u$

Apply all three operations to a typical original number $u$

Pista grande:

Simplifica el número transformado y suma las $n$ entradas

After simplifying the transformed number, sum over all $n$ entries

Solución:

Un número original $u$ se convierte en $5(u+20)-20=5u+80.$ Al sumar los $n$ números originales se obtiene $5s+80n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

An original number $u$ becomes $5(u+20)-20=5u+80.$ Summing over the $n$ original numbers therefore gives $5s+80n.$

Thus, the correct answer is B.

27.

Los puntos $(2,-3),$ $(4,3)$ y $(5,\frac{k}{2})$ están en una misma recta. El valor de $k$ es:

The points $(2,-3),$ $(4,3),$ and $(5,\frac{k}{2})$ are on the same straight line. The value(s) of $k$ is (are):

$12$

$-12$

$\pm12$

$12$ o $6$

$12$ or $6$

$6$ o $6\frac23$

$6$ or $6\frac23$

Conceptos:geometría analítica pendiente ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Calcula la pendiente entre los dos primeros puntos

Compute the slope through the first two points

Pista grande:

Iguala esa pendiente con la pendiente de $(4,3)$ a $(5,\frac{k}{2})$

Equate that slope to the slope from $(4,3)$ to $(5,\frac{k}{2})$

Solución:

La pendiente entre los dos primeros puntos es $\frac{3-(-3)}{4-2}=3.$ Entonces $\frac{\frac{k}{2}-3}{5-4}=3,$ lo que da $\frac{k}{2}=6$ y $k=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The slope through the first two points is $\frac{3-(-3)}{4-2}=3.$ Thus $\frac{\frac{k}{2}-3}{5-4}=3,$ which gives $\frac{k}{2}=6$ and $k=12.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

Un radiador de $16$ cuartos está lleno de agua. Se extraen cuatro cuartos y se reemplazan con anticongelante puro. Luego se extraen cuatro cuartos de la mezcla y se reemplazan de nuevo. Esto se repite una tercera y una cuarta vez. La fracción final de agua es:

A $16$ -quart radiator is filled with water. Four quarts are removed and replaced with pure antifreeze liquid. Then four quarts of the mixture are removed and replaced with pure antifreeze. This is done a third and a fourth time. The fractional part of the final mixture that is water is:

$\dfrac14$

$\dfrac{81}{256}$

$\dfrac{27}{64}$

$\dfrac{37}{64}$

$\dfrac{175}{256}$

Conceptos:mezcla sucesión geométrica simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Cada extracción elimina la misma fracción del agua que queda

Each removal takes away the same fraction of whatever water remains

Pista grande:

Tras cada reemplazo queda $\frac{3}{4}$ del agua anterior

After one replacement, $\frac{3}{4}$ of the previous water remains

Solución:

Cada extracción quita una cuarta parte del contenido bien mezclado, por lo que deja tres cuartas partes del agua presente. Tras cuatro reemplazos, la fracción de agua es $\left(\frac34\right)^4=\frac{81}{256}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each removal takes one-fourth of the well-mixed radiator contents, so it leaves three-fourths of the water then present. After four replacements, the water fraction is $\left(\frac34\right)^4=\frac{81}{256}.$

Therefore, the correct answer is B.

29.

En un triángulo general $ADE$ , como se muestra, se trazan $EB$ y $EC$ . ¿Cuál de las siguientes relaciones angulares es verdadera?

In a general triangle $ADE$ (as shown), lines $EB$ and $EC$ are drawn. Which of the following angle relations is true?

$x+z=a+b$

$y+z=a+b$

$m+x=w+n$

$x+z+n=w+c+m$

$x+y+n=a+b+m$

Conceptos:suma de ángulos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Escribe la suma de ángulos del triángulo $AEC$

Write the angle sum in triangle $AEC$

Pista grande:

Escribe la suma de ángulos del triángulo $BED$ y compara las ecuaciones

Write the angle sum in triangle $BED$ , then compare the two equations

Solución:

El triángulo $AEC$ da $x+y+w+n=180^\circ.$ El triángulo $BED$ da $m+a+b+w=180^\circ.$ Al igualar los lados izquierdos y cancelar $w$ , resulta $x+y+n=a+b+m.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Triangle $AEC$ gives $x+y+w+n=180^\circ.$ Triangle $BED$ gives $m+a+b+w=180^\circ.$ Equating the left sides and cancelling $w$ yields $x+y+n=a+b+m.$

Thus, the correct answer is E.

30.

Si $xy=b$ y $\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}=a,$ entonces $(x+y)^2$ es igual a:

If $xy=b$ and $\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}=a,$ then $(x+y)^2$ equals:

$(a+2b)^2$

$a^2+b^2$

$b(ab+2)$

$ab(b+2)$

$\dfrac1a+2b$

Conceptos:ecuación racional simetría (álgebra)manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Combina $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}$ con denominador común $x^2y^2$

Combine $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}$ using the common denominator $x^2y^2$

Pista grande:

Usa $xy=b$ para hallar $x^2+y^2$ y luego suma $2xy$

Use $xy=b$ to find $x^2+y^2$ , then add $2xy$

Solución:

Como $xy=b,$ $a=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} =\frac{x^2+y^2}{b^2},$ de modo que $x^2+y^2=ab^2.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} (x+y)^2 &=x^2+y^2+2xy\\ &=ab^2+2b\\ &=b(ab+2). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $xy=b,$ $a=\frac{x^2+y^2}{x^2y^2} =\frac{x^2+y^2}{b^2},$ so $x^2+y^2=ab^2.$ Therefore $\begin{aligned} (x+y)^2 &=x^2+y^2+2xy\\ &=ab^2+2b\\ &=b(ab+2). \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

31.

La altura a la base de un triángulo isósceles mide $8,$ y el perímetro es $32.$ El área es:

The altitude drawn to the base of an isosceles triangle is $8,$ and the perimeter is $32.$ The area of the triangle is:

$56$

$48$

$40$

$32$

$24$

Conceptos:triángulo isósceles Teorema de Pitágoras área del triángulo

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Sea $a$ cada lado igual y $b$ la mitad de la base

Let each equal side be $a$ and half the base be $b$

Pista grande:

Usa $a+b=16$ y $a^2-b^2=8^2$

Use $a+b=16$ and $a^2-b^2=8^2$

Solución:

Sea $a$ cada lado igual y $b$ la mitad de la base. El perímetro da $a+b=16.$ La altura biseca la base, por lo que $a^2-b^2=8^2.$ Así, $(a-b)(a+b)=64,$ y $a-b=4.$ Entonces $b=6,$ la base es $12$ y el área es $\frac12(12)(8)=48.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let each equal side be $a$ and half the base be $b.$ The perimeter gives $a+b=16.$ The altitude bisects the base, so $a^2-b^2=8^2.$ Thus $(a-b)(a+b)=64,$ giving $a-b=4.$ Hence $b=6,$ so the base is $12.$ The area is $\frac12(12)(8)=48.$

Therefore, the correct answer is B.

32.

Con $\$1000$ , un ranchero va a comprar novillos a $\$25$ cada uno y vacas a $\$26$ cada una. Si el número de novillos $s$ y el número de vacas $c$ son ambos enteros positivos, entonces:

With $\$1000$ a rancher is to buy steers at $\$25$ each and cows at $\$26$ each. If the number of steers $s$ and the number of cows $c$ are both positive integers, then:

este problema no tiene solución

this problem has no solution

hay dos soluciones con $s$ mayor que $c$

there are two solutions with $s$ exceeding $c$

hay dos soluciones con $c$ mayor que $s$

there are two solutions with $c$ exceeding $s$

hay una solución con $s$ mayor que $c$

there is one solution with $s$ exceeding $c$

hay una solución con $c$ mayor que $s$

there is one solution with $c$ exceeding $s$

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Escribe $25s+26c=1000$ y reduce módulo $25$

Write $25s+26c=1000$ and reduce it modulo $25$

Pista grande:

La congruencia y la positividad dejan un solo valor positivo posible de $c$

The congruence and positivity leave only one possible positive value of $c$

Solución:

La ecuación de compra es $25s+26c=1000.$ Al reducir módulo $25$ , $c\equiv0\pmod{25}.$ Como $c$ es positivo y $26c<1000,$ solo puede ser $c=25.$ Entonces $s=\frac{1000-26(25)}{25}=14.$ Hay una solución y $c>s.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The purchase equation is $25s+26c=1000.$ Reducing modulo $25$ gives $c\equiv0\pmod{25}.$ Since $c$ is positive and $26c<1000,$ the only possibility is $c=25.$ Then $s=\frac{1000-26(25)}{25}=14.$ There is one solution, and $c>s.$

Thus, the correct answer is E.

33.

Para que una raíz de $ax^2+bx+c=0$ sea el doble de la otra, $a,$ $b$ y $c$ deben satisfacer:

For one root of $ax^2+bx+c=0$ to be double the other, the coefficients $a,$ $b,$ $c$ must be related as follows:

$4b^2=9c$

$2b^2=9ac$

$2b^2=9a$

$b^2-8ac=0$

$9b^2=2ac$

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Representa las raíces como $q$ y $2q$

Represent the two roots as $q$ and $2q$

Pista grande:

Aplica las fórmulas de Vieta a su suma y producto y elimina $q$

Apply Vieta’s formulas to their sum and product, then eliminate $q$

Solución:

Sean las raíces $q$ y $2q.$ Las fórmulas de Vieta dan $3q=-\frac ba,\qquad 2q^2=\frac ca.$ Al elevar al cuadrado la primera relación, $9q^2=\frac{b^2}{a^2}.$ Al dividirla entre la segunda, $\frac92=\frac{b^2}{ac},$ es decir, $2b^2=9ac.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the roots be $q$ and $2q.$ Vieta’s formulas give $3q=-\frac ba,\qquad 2q^2=\frac ca.$ Squaring the first relation yields $9q^2=\frac{b^2}{a^2}.$ Dividing this by the second relation gives $\frac92=\frac{b^2}{ac},$ or $2b^2=9ac.$

Therefore, the correct answer is B.

34.

El numerador de una fracción es $6x+1,$ el denominador es $7-4x,$ y $x$ puede tomar cualquier valor entre $-2$ y $2,$ ambos incluidos. Los valores de $x$ para los que el numerador supera al denominador son:

The numerator of a fraction is $6x+1,$ the denominator is $7-4x,$ and $x$ can have any value between $-2$ and $2,$ both included. The values of $x$ for which the numerator is greater than the denominator are:

$\dfrac35\lt x\le2$

$\dfrac35\le x\le2$

$0\lt x\le2$

$0\le x\le2$

$-2\le x\le2$

Conceptos:desigualdad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Compara numerador y denominador resolviendo $6x+1\gt7-4x$

Compare the numerator and denominator directly by solving $6x+1\gt7-4x$

Pista grande:

Interseca la desigualdad resultante con $[-2,2]$

Intersect the resulting inequality with the given interval $[-2,2]$

Solución:

La comparación da $6x+1\gt7-4x,$ por lo que $10x\gt6$ y $x\gt\frac{3}{5}.$ Al intersecar con $-2\le x\le2$ , se obtiene $\frac35\lt x\le2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The required comparison gives $6x+1\gt7-4x,$ so $10x\gt6$ and $x\gt\frac{3}{5}.$ Intersecting this with $-2\le x\le2$ gives $\frac35\lt x\le2.$

Thus, the correct answer is A.

35.

Se forma un triángulo uniendo tres puntos de coordenadas enteras. Si las unidades de $x$ y $y$ miden $1$ pulgada, su área en pulgadas cuadradas:

A triangle is formed by joining three points whose coordinates are integers. If the $x$ -unit and the $y$ -unit are each $1$ inch, then the area of the triangle, in square inches:

debe ser entera

must be an integer

puede ser irracional

may be irrational

debe ser irracional

must be irrational

debe ser racional

must be rational

será entera solo si el triángulo es equilátero

will be an integer only if the triangle is equilateral

Conceptos:punto reticular determinante área del triángulo

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Traslada un vértice al origen y usa el determinante de coordenadas para el doble del área

Translate one vertex to the origin and use the coordinate determinant for twice the area

Pista grande:

El determinante de coordenadas enteras es entero

The determinant of integer coordinates is an integer

Solución:

Tras trasladar un vértice al origen, sean los otros dos $(a,c)$ y $(b,d),$ con coordenadas enteras. El área es $\frac12|ad-bc|.$ Como $ad-bc$ es entero, el área es entera o semientera; en ambos casos es racional.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After translating one vertex to the origin, write the other two as $(a,c)$ and $(b,d),$ with all coordinates integers. The area is $\frac12|ad-bc|.$ Since $ad-bc$ is an integer, the area is an integer or a half-integer, and in either case it is rational.

Therefore, the correct answer is D.

36.

Los lados de un triángulo miden $30,$ $70$ y $80$ unidades. Una altura sobre el lado de longitud $80$ lo divide; el segmento mayor es:

The sides of a triangle are $30,$ $70,$ and $80$ units. If an altitude is dropped upon the side of length $80,$ the larger segment cut off on this side is:

$62$

$63$

$64$

$65$

$66$

Conceptos:altura Teorema de Pitágoras triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Sea la división del lado de longitud $80$ en $x$ y $80-x$

Let the altitude divide the side of length $80$ into $x$ and $80-x$

Pista grande:

Iguala las dos expresiones para el cuadrado de la altura

Equate the two expressions for the square of the altitude

Solución:

Sea $x$ el segmento adyacente al lado de longitud $30.$ Si la altura mide $h,$ $\begin{aligned} 30^2-x^2&=h^2,\\ h^2&=70^2-(80-x)^2. \end{aligned}$ Al cancelar $x^2$ y resolver, $x=15.$ El otro segmento es $80-15=65,$ el mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $x$ be the segment adjacent to the side of length $30.$ If the altitude has length $h,$ then $\begin{aligned} 30^2-x^2&=h^2,\\ h^2&=70^2-(80-x)^2. \end{aligned}$ Cancelling $x^2$ and solving gives $x=15.$ The other segment is $80-15=65,$ which is the larger one.

Thus, the correct answer is D.

37.

El primer término de una sucesión aritmética de enteros consecutivos es $k^2+1.$ La suma de $2k+1$ términos se expresa como:

The first term of an arithmetic series of consecutive integers is $k^2+1.$ The sum of $2k+1$ terms of this series may be expressed as:

$k^3+(k+1)^3$

$(k-1)^3+k^3$

$(k+1)^3$

$(k+1)^2$

$(2k+1)(k+1)^2$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Halla el último término tras $2k$ incrementos desde el primero

Find the last term after $2k$ increases from the first term

Pista grande:

Usa el promedio del primer y último término

Use the arithmetic-series average of the first and last terms

Solución:

El último término es $k^2+1+2k=(k+1)^2.$ El promedio del primero y el último es $k^2+k+1.$ Entonces la suma es $\begin{aligned} S&=(2k+1)(k^2+k+1)\\ &=k^3+(k+1)^3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The last term is $k^2+1+2k=(k+1)^2.$ The average of the first and last terms is $k^2+k+1.$ Therefore the sum is $\begin{aligned} S&=(2k+1)(k^2+k+1)\\ &=k^3+(k+1)^3. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

38.

Sea $r$ la distancia del origen a un punto $P$ de coordenadas $x$ y $y.$ Denotemos la razón $\frac{y}{r}$ por $s$ y la razón $\frac{x}{r}$ por $c.$ Los valores de $s^2-c^2$ están:

Let $r$ be the distance from the origin to a point $P$ with coordinates $x$ and $y.$ Designate the ratio $\frac{y}{r}$ by $s$ and the ratio $\frac{x}{r}$ by $c.$ Then the values of $s^2-c^2$ are limited to the numbers:

por debajo de $-1$ y por encima de $+1,$ sin incluirlos

less than $-1$ and greater than $+1,$ both excluded

por debajo de $-1$ y por encima de $+1,$ incluyéndolos

less than $-1$ and greater than $+1,$ both included

entre $-1$ y $+1,$ sin incluirlos

between $-1$ and $+1,$ both excluded

entre $-1$ y $+1,$ incluyéndolos

between $-1$ and $+1,$ both included

solo en $-1$ y $+1$

$-1$ and $+1$ only

Conceptos:geometría analítica Teorema de Pitágoras desigualdad

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Usa $r^2=x^2+y^2$ para relacionar $s^2+c^2$

Use $r^2=x^2+y^2$ to relate $s^2+c^2$

Pista grande:

Reescribe $s^2-c^2$ como $2s^2-1$

Rewrite $s^2-c^2$ as $2s^2-1$

Solución:

Como $r^2=x^2+y^2,$ $s^2+c^2=\frac{y^2+x^2}{r^2}=1.$ Así, $s^2-c^2=2s^2-1.$ Como $0\le s^2\le1,$ la expresión recorre de $-1$ a $1,$ con ambos extremos incluidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $r^2=x^2+y^2,$ $s^2+c^2=\frac{y^2+x^2}{r^2}=1.$ Thus $s^2-c^2=2s^2-1.$ Because $0\le s^2\le1,$ this expression ranges from $-1$ through $1,$ with both endpoints included.

Thus, the correct answer is D.

39.

Sobre las soluciones de $|x|^2+|x|-6=0$ , podemos decir que:

We may say concerning the solution of $|x|^2+|x|-6=0$ that:

hay una sola raíz

there is only one root

la suma de las raíces es $1$

the sum of the roots is $1$

la suma de las raíces es $0$

the sum of the roots is $0$

el producto de las raíces es $4$

the product of the roots is $4$

el producto de las raíces es $-6$

the product of the roots is $-6$

Conceptos:valor absoluto cuadrática propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Toma $u=|x|$ , de modo que $u\ge0$

Set $u=|x|$ , so $u\ge0$

Pista grande:

Factoriza la cuadrática en $u$ y vuelve a $x$

Factor the resulting quadratic in $u$ , then translate the admissible value back to $x$

Solución:

Sea $u=|x|\ge0.$ Entonces $\begin{aligned} u^2+u-6&=0,\\ (u+3)(u-2)&=0. \end{aligned}$ La solución no negativa es $u=2,$ así que $|x|=2$ y $x=\pm2.$ Su suma es $0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $u=|x|\ge0.$ Then $\begin{aligned} u^2+u-6&=0,\\ (u+3)(u-2)&=0. \end{aligned}$ The nonnegative solution is $u=2,$ so $|x|=2$ and $x=\pm2.$ Their sum is $0.$

Therefore, the correct answer is C.

40.

Dados $a_0=1,$ $a_1=3$ y $a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}=(-1)^n$ para $n\ge1,$ $a_3$ es:

Given $a_0=1,$ $a_1=3,$ and the general relation $a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}=(-1)^n$ for $n\ge1.$ Then $a_3$ equals:

$\dfrac{13}{27}$

$33$

$21$

$10$

$-17$

Conceptos:recursión sustitución

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Usa primero $n=1$ para hallar $a_2$

Use the recurrence first with $n=1$ to find $a_2$

Pista grande:

Luego usa $n=2$ para hallar $a_3$

Then use it with $n=2$ to solve for $a_3$

Solución:

Para $n=1,$ $3^2-(1)a_2=-1,$ así que $a_2=10.$ Para $n=2,$ $10^2-3a_3=1,$ de donde $a_3=33.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $n=1,$ $3^2-(1)a_2=-1,$ so $a_2=10.$ For $n=2,$ $10^2-3a_3=1,$ which gives $a_3=33.$

Thus, the correct answer is B.

41.

Las raíces de $Ax^2+Bx+C=0$ son $r$ y $s.$ Para que las raíces de

$x^2+px+q=0$

sean $r^2$ y $s^2,$ $p$ debe ser:

The roots of $Ax^2+Bx+C=0$ are $r$ and $s.$ For the roots of

$x^2+px+q=0$

to be $r^2$ and $s^2,$ $p$ must equal:

$\dfrac{B^2-4AC}{A^2}$

$\dfrac{B^2-2AC}{A^2}$

$\dfrac{2AC-B^2}{A^2}$

$B^2-2C$

$2C-B^2$

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

En la nueva cuadrática mónica, $p$ es el opuesto de $r^2+s^2$

For the new monic quadratic, $p$ is the negative of the sum $r^2+s^2$

Pista grande:

Escribe $r^2+s^2=(r+s)^2-2rs$ y usa Vieta en la cuadrática original

Write $r^2+s^2=(r+s)^2-2rs$ and use Vieta’s formulas for the original quadratic

Solución:

Para la cuadrática original, $r+s=-\frac BA,\qquad rs=\frac CA.$ Entonces $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=\frac{B^2-2AC}{A^2}. \end{aligned}$ El coeficiente $p$ es el opuesto de esta suma, así que $p=\frac{2AC-B^2}{A^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For the original quadratic, $r+s=-\frac BA,\qquad rs=\frac CA.$ Hence $\begin{aligned} r^2+s^2 &=(r+s)^2-2rs\\ &=\frac{B^2-2AC}{A^2}. \end{aligned}$ The coefficient $p$ is the negative of this sum, so $p=\frac{2AC-B^2}{A^2}.$

Therefore, the correct answer is C.

42.

En un círculo de centro $O,$ las cuerdas $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ son iguales. La cuerda $\overline{AD}$ corta $\overline{BC}$ en $E.$ Si $AC=12$ y $AE=8,$ entonces $AD$ es:

In a circle with center $O,$ chord $\overline{AB}$ equals chord $\overline{AC}.$ Chord $\overline{AD}$ cuts $\overline{BC}$ in $E.$ If $AC=12$ and $AE=8,$ then $AD$ equals:

$27$

$24$

$21$

$20$

$18$

Conceptos:cuerda ángulo inscrito semejanza

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Compara los triángulos $AEC$ y $ACD$

Compare triangles $AEC$ and $ACD$

Pista grande:

Los ángulos $ACE$ y $ADC$ subtienden las cuerdas iguales $AB$ y $AC$

Angles $ACE$ and $ADC$ subtend the equal chords $AB$ and $AC$

Solución:

Como $E$ está en $BC$ y $AD,$ los triángulos $AEC$ y $ACD$ comparten el ángulo $A.$ Además, $\angle ACE=\angle ACB$ subtiende $AB,$ mientras $\angle ADC$ subtiende $AC.$ Como $AB=AC,$ estos ángulos son iguales. Por tanto, $\triangle AEC\sim\triangle ACD.$ Los lados correspondientes dan $\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AD}.$ Así, $\frac{8}{12}=\frac{12}{AD},$ y $AD=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because $E$ lies on $BC$ and $AD,$ triangles $AEC$ and $ACD$ share angle $A.$ Also $\angle ACE=\angle ACB$ subtends chord $AB,$ while $\angle ADC$ subtends chord $AC.$ Since $AB=AC,$ these angles are equal. Thus $\triangle AEC\sim\triangle ACD.$ Corresponding sides give $\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AD}.$ Therefore $\frac{8}{12}=\frac{12}{AD},$ so $AD=18.$

Thus, the correct answer is E.

43.

$\overline{AB}$ es la hipotenusa del triángulo rectángulo $ABC.$ Las medianas son $AD=7$ y $BE=4.$ La longitud de $AB$ es:

$\overline{AB}$ is the hypotenuse of a right triangle $ABC.$ Median $AD=7$ and median $BE=4.$ The length of $AB$ is:

$10$

$5\sqrt3$

$5\sqrt2$

$2\sqrt{13}$

$2\sqrt{15}$

Conceptos:mediana (geometría)Teorema de Stewart Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Sean $u$ y $v$ los cuadrados de los catetos opuestos a $A$ y $B$

Let the legs opposite $A$ and $B$ have squared lengths $u$ and $v$

Pista grande:

Usa las dos fórmulas de medianas y la relación pitagórica

Use the two median formulas together with the Pythagorean relation for the hypotenuse

Solución:

Sean $a=BC,$ $b=CA$ y $c=AB.$ Como el ángulo recto está en $C,$ $c^2=a^2+b^2.$ Las fórmulas de medianas dan $\begin{aligned} 4(7^2) &=a^2+4b^2,\\ 4(4^2) &=4a^2+b^2. \end{aligned}$ Al resolver, $a^2=4$ y $b^2=48.$ Por tanto, $\begin{aligned} AB=c &=\sqrt{a^2+b^2}\\ &=\sqrt{52}=2\sqrt{13}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a=BC,$ $b=CA,$ and $c=AB.$ Since the right angle is at $C,$ $c^2=a^2+b^2.$ The median formulas give $\begin{aligned} 4(7^2) &=a^2+4b^2,\\ 4(4^2) &=4a^2+b^2. \end{aligned}$ Solving yields $a^2=4$ and $b^2=48.$ Therefore $\begin{aligned} AB=c &=\sqrt{a^2+b^2}\\ &=\sqrt{52}=2\sqrt{13}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

44.

Dadas las afirmaciones verdaderas:

$1.$ Si $a$ es mayor que $b,$ entonces $c$ es mayor que $d.$

$2.$ Si $c$ es menor que $d,$ entonces $e$ es mayor que $f.$

Una conclusión válida es:

Given the true statements:

$1.$ If $a$ is greater than $b,$ then $c$ is greater than $d.$

$2.$ If $c$ is less than $d,$ then $e$ is greater than $f.$

A valid conclusion is:

Si $a$ es menor que $b,$ entonces $e$ es mayor que $f$

If $a$ is less than $b,$ then $e$ is greater than $f$

Si $e$ es mayor que $f,$ entonces $a$ es menor que $b$

If $e$ is greater than $f,$ then $a$ is less than $b$

Si $e$ es menor que $f,$ entonces $a$ es mayor que $b$

If $e$ is less than $f,$ then $a$ is greater than $b$

Si $a$ es mayor que $b,$ entonces $e$ es menor que $f$

If $a$ is greater than $b,$ then $e$ is less than $f$

ninguna de estas

none of these

Conceptos:deducción lógica contraejemplo

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Representa las comparaciones como proposiciones y distingue cada implicación de su recíproca

Represent the comparisons as propositions and distinguish each implication from its converse

Pista grande:

La hipótesis de la segunda premisa es incompatible con la conclusión de la primera, pero eso no permite encadenar las implicaciones

The second premise’s hypothesis is incompatible with the first premise’s conclusion, but that alone does not chain the implications

Solución:

Sean $P$ la afirmación $a>b,$ $Q$ la afirmación $c>d,$ $S$ la afirmación $c<d$ y $R$ la afirmación $e>f.$ Las premisas son $P\Rightarrow Q,\qquad S\Rightarrow R.$ Las afirmaciones $Q$ y $S$ son incompatibles. Las contrapositivas son $\neg Q\Rightarrow\neg P$ y $\neg R\Rightarrow\neg S.$ Ninguna de las cuatro implicaciones propuestas se deduce. Por ejemplo, $P$ da $Q$ y, por tanto, $\neg S,$ pero no determina $R;$ mientras que $\neg R$ solo da $\neg S,$ no $P.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $P$ mean $a>b,$ $Q$ mean $c>d,$ $S$ mean $c<d,$ and $R$ mean $e>f.$ The premises are $P\Rightarrow Q,\qquad S\Rightarrow R.$ The statements $Q$ and $S$ cannot both hold. The contrapositives are $\neg Q\Rightarrow\neg P$ and $\neg R\Rightarrow\neg S.$ None of the four proposed implications follows. For example, knowing $P$ gives $Q$ and hence $\neg S,$ but says nothing about $R;$ knowing $\neg R$ gives $\neg S,$ not $P.$

Therefore, the correct answer is E.

45.

Un cheque se escribe por $x$ dólares y $y$ centavos, con $x$ y $y$ ambos de dos cifras. Por error se cobra por $y$ dólares y $x$ centavos, excediendo la cantidad correcta en $\$17.82.$ Entonces:

A check is written for $x$ dollars and $y$ cents, $x$ and $y$ both two-digit numbers. In error it is cashed for $y$ dollars and $x$ cents, the incorrect amount exceeding the correct amount by $\$17.82.$ Then:

$x$ no puede exceder $70$

$x$ cannot exceed $70$

$y$ puede ser igual a $2x$

$y$ can equal $2x$

la cantidad del cheque no puede ser múltiplo de $5$

the amount of the check cannot be a multiple of $5$

la cantidad incorrecta puede ser el doble de la correcta

the incorrect amount can equal twice the correct amount

la suma de los dígitos de la cantidad correcta es divisible por $9$

the sum of the digits of the correct amount is divisible by $9$

Conceptos:dinero dígitos ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Escribe las cantidades correcta e incorrecta en centavos

Write the correct and incorrect amounts in cents

Pista grande:

Su diferencia se simplifica a $99(y-x)$

Their difference simplifies to $99(y-x)$

Solución:

En centavos, la cantidad incorrecta menos la correcta es $\begin{aligned} &(100y+x)-(100x+y)\\ &\qquad=99(y-x). \end{aligned}$ Como $\$17.82$ son $1782$ centavos, $99(y-x)=1782,$ así que $y-x=18.$ Los valores de dos cifras $x=18,\ y=36$ satisfacen la relación y $y=2x.$ Por tanto, esa igualdad puede ocurrir.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In cents, the incorrect amount minus the correct amount is $\begin{aligned} &(100y+x)-(100x+y)\\ &\qquad=99(y-x). \end{aligned}$ Since $\$17.82$ is $1782$ cents, $99(y-x)=1782,$ so $y-x=18.$ The two-digit values $x=18,\ y=36$ satisfy this relation and have $y=2x.$ Thus that equality can occur.

Therefore, the correct answer is B.

46.

Para valores de $x$ menores que $1$ pero mayores que $-4,$ la expresión

$\frac{x^2-2x+2}{2x-2}$

tiene:

For values of $x$ less than $1$ but greater than $-4,$ the expression

$\frac{x^2-2x+2}{2x-2}$

has:

ningún máximo ni mínimo

no maximum or minimum value

mínimo $1$

a minimum value of $1$

máximo $1$

a maximum value of $1$

mínimo $-1$

a minimum value of $-1$

máximo $-1$

a maximum value of $-1$

Conceptos:Desigualdad MA-MG desigualdad optimización

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Toma $t=x-1,$ que es negativo en el intervalo dado

Set $t=x-1,$ which is negative on the given interval

Pista grande:

Reescribe como $\tfrac12(t+\frac{1}{t})$ y usa la desigualdad para $t$ negativo

Rewrite the expression as $\tfrac12(t+\frac{1}{t})$ and use the negative- $t$ form of AM-GM

Solución:

Sea $t=x-1.$ Entonces $-5\lt t\lt0,$ y la expresión se vuelve $\frac{t^2+1}{2t} =\frac12\left(t+\frac1t\right).$ Para $t\lt0,$ $t+\frac{1}{t}\le-2,$ con igualdad en $t=-1.$ Este valor corresponde a $x=0.$ Así, la expresión es como máximo $-1,$ y su máximo es $-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Set $t=x-1.$ Then $-5\lt t\lt0,$ and the expression becomes $\frac{t^2+1}{2t} =\frac12\left(t+\frac1t\right).$ For $t\lt0,$ $t+\frac{1}{t}\le-2,$ with equality when $t=-1.$ That value is allowed and corresponds to $x=0.$ Hence the expression is at most $-1,$ and its maximum is $-1.$

Thus, the correct answer is E.

47.

$ABCD$ es un rectángulo y $P$ es cualquier punto de $\overline{AB}.$ Se tiene $PS\perp BD,$ $PR\perp AC,$ $AF\perp BD$ y $PQ\perp AF.$ Entonces $PR+PS$ es igual a:

$ABCD$ is a rectangle (see the accompanying diagram) with $P$ any point on $\overline{AB}.$ $PS\perp BD$ and $PR\perp AC.$ $AF\perp BD$ and $PQ\perp AF.$ Then $PR+PS$ is equal to:

$PQ$

$AE$

$PT+AT$

$AF$

$EF$

Conceptos:rectángulo rectas paralelas semejanza

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Como $PQ\parallel BD$ y $PS\parallel AF,$ identifica el pequeño paralelogramo junto a $F$ y $S$

Because $PQ\parallel BD$ and $PS\parallel AF,$ identify the small parallelogram near $F$ and $S$

Pista grande:

Usa $T=PQ\cap AC$ para comparar los triángulos rectángulos $PTR$ y $ATQ$

Use the intersection $T=PQ\cap AC$ to compare the right triangles $PTR$ and $ATQ$

Solución:

Como $AF\perp BD$ y $PQ\perp AF,$ $PQ\parallel BD.$ Además, $PS\perp BD,$ de modo que $PS\parallel AF.$ Así, $QPSF$ es un rectángulo y $PS=QF.$ Sea $T=PQ\cap AC.$ Las diagonales de un rectángulo forman ángulos iguales con $AB,$ por lo que $\angle PAT=\angle APT$ y $AT=PT.$ Los triángulos rectángulos $ATQ$ y $PTR$ son semejantes por el ángulo en $T.$ Como sus hipotenusas $AT$ y $PT$ son iguales, $AQ=PR.$ Por tanto, $PR+PS=AQ+QF=AF.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $AF\perp BD$ and $PQ\perp AF,$ we have $PQ\parallel BD.$ Also $PS\perp BD,$ so $PS\parallel AF.$ Thus quadrilateral $QPSF$ is a rectangle, and $PS=QF.$ Let $T=PQ\cap AC.$ The diagonals of a rectangle make equal angles with side $AB,$ so $\angle PAT=\angle APT,$ giving $AT=PT.$ The right triangles $ATQ$ and $PTR$ are similar because they share the angle at $T.$ Since their hypotenuses $AT$ and $PT$ are equal, $AQ=PR.$ Therefore $PR+PS=AQ+QF=AF.$

Thus, the correct answer is D.

48.

El diámetro $\overline{AB}$ de un círculo de centro $O$ mide $10$ unidades. $C$ está en $\overline{AB}$ a $4$ unidades de $A,$ y $D$ está en $\overline{AB}$ a $4$ unidades de $B.$ $P$ es cualquier punto del círculo. El camino quebrado de $C$ a $P$ y a $D:$

Diameter $\overline{AB}$ of a circle with center $O$ is $10$ units. $C$ is a point $4$ units from $A,$ and on $\overline{AB}.$ $D$ is a point $4$ units from $B,$ and on $\overline{AB}.$ $P$ is any point on the circle. Then the broken-line path from $C$ to $P$ to $D:$

tiene la misma longitud para toda posición de $P$

has the same length for all positions of $P$

supera $10$ unidades para toda posición de $P$

exceeds $10$ units for all positions of $P$

no puede superar $10$ unidades

cannot exceed $10$ units

es mínimo cuando $CPD$ es un triángulo rectángulo

is shortest when $CPD$ is a right triangle

es máximo cuando $P$ equidista de $C$ y $D$

is longest when $P$ is equidistant from $C$ and $D$

Conceptos:círculo fórmula de la distancia optimización simetría

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Coloca el centro en el origen y el diámetro en el eje $x$ , con $C=(-1,0)$ y $D=(1,0)$

Place the center at the origin and the diameter on the $x$ -axis, so $C=(-1,0)$ and $D=(1,0)$

Pista grande:

Para $P=(u,v)$ en el círculo, compara $CP^2=26+2u$ y $DP^2=26-2u$

For $P=(u,v)$ on the circle, compare $CP^2=26+2u$ and $DP^2=26-2u$

Solución:

Sean $O=(0,0),$ $C=(-1,0),$ $D=(1,0)$ y $P=(u,v)$ , con $u^2+v^2=25.$ Entonces $\begin{aligned} CP^2&=26+2u,\\ DP^2&=26-2u. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned} (CP+DP)^2 &=52\\ &\quad+2\sqrt{676-4u^2}. \end{aligned}$ Esto es máximo cuando $u=0,$ exactamente cuando $CP=DP.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Place $O=(0,0),$ $C=(-1,0),$ $D=(1,0),$ and $P=(u,v)$ with $u^2+v^2=25.$ Then $\begin{aligned} CP^2&=26+2u,\\ DP^2&=26-2u. \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} (CP+DP)^2 &=52\\ &\quad+2\sqrt{676-4u^2}. \end{aligned}$ This is largest when $u=0,$ exactly when $CP=DP.$

Therefore, the correct answer is E.

49.

En la expansión de $(a+b)^n$ hay $n+1$ términos distintos. El número de términos distintos de $(a+b+c)^{10}$ es:

In the expansion of $(a+b)^n$ there are $n+1$ dissimilar terms. The number of dissimilar terms in the expansion of $(a+b+c)^{10}$ is:

$11$

$33$

$55$

$66$

$132$

Conceptos:estrellas y barras combinaciones polinomio

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Cada término queda determinado por exponentes no negativos $i,j,k$ que suman $10$

A term is determined by nonnegative exponents $i,j,k$ whose sum is $10$

Pista grande:

Cuenta las soluciones de $i+j+k=10$ con estrellas y barras

Count the solutions of $i+j+k=10$ by stars and bars

Solución:

Cada término distinto es $a^ib^jc^k$ , con enteros no negativos que satisfacen $i+j+k=10.$ Por estrellas y barras, el número de ternas es $\binom{10+3-1}{3-1}=\binom{12}{2}=66.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each distinct term is $a^ib^jc^k$ for nonnegative integers satisfying $i+j+k=10.$ By stars and bars, the number of such triples is $\binom{10+3-1}{3-1}=\binom{12}{2}=66.$

Thus, the correct answer is D.

50.

El diagrama muestra un método para asociar recíprocamente los puntos de $AB$ y $A'B'.$ Sea $x$ la distancia de un punto $P$ de $AB$ a $D$ , y sea $y$ la distancia del punto asociado $P'$ de $A'B'$ a $D'.$ Si $x=a,$ entonces $x+y$ es:

In this diagram a scheme is indicated for associating all the points of segment $AB$ with those of segment $A'B',$ and reciprocally. To describe this association scheme analytically, let $x$ be the distance from a point $P$ on $AB$ to $D$ and let $y$ be the distance from the associated point $P'$ of $A'B'$ to $D'.$ Then for any pair of associated points, if $x=a,$ $x+y$ equals:

$13a$

$17a-51$

$17-3a$

$\dfrac{17-3a}{4}$

$12a-34$

Conceptos:semejanza ecuación lineal transformación

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Las rectas del diagrama asocian $x=3$ con $y=5$ y $x=4$ con $y=1$

The perspective lines in the diagram associate $x=3$ with $y=5$ and $x=4$ with $y=1$

Pista grande:

Como los dos segmentos numerados son paralelos, la relación entre $x$ y $y$ es lineal

Because the two numbered segments are parallel, the induced relation between $x$ and $y$ is linear

Solución:

Los dos segmentos numerados son paralelos, así que la proyección da una relación lineal entre $x$ y $y.$ Las asociaciones son $(x,y)=(3,5)$ y $(x,y)=(4,1).$ La pendiente es $\frac{1-5}{4-3}=-4,$ de modo que $y=-4x+17.$ Si $x=a,$ entonces $\begin{aligned} x+y &=a+(-4a+17)\\ &=17-3a. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The two numbered segments are parallel, so projection through the fixed intersection point gives a linear relation between $x$ and $y.$ The endpoint associations shown are $(x,y)=(3,5)$ and $(x,y)=(4,1).$ The slope is $\frac{1-5}{4-3}=-4,$ so $y=-4x+17.$ If $x=a,$ then $\begin{aligned} x+y &=a+(-4a+17)\\ &=17-3a. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.