Question

Entre $2^{\frac{1}{2}},$ $3^{\frac{1}{3}},$ $8^{\frac{1}{8}},$ $9^{\frac{1}{9}},$ los que tienen el mayor y el segundo mayor valor, respectivamente, son:

From among $2^{\frac{1}{2}},$ $3^{\frac{1}{3}},$ $8^{\frac{1}{8}},$ $9^{\frac{1}{9}},$ those which have the greatest and the next to the greatest values, in that order, are:

$3^{\frac{1}{3}},$ $2^{\frac{1}{2}}$

$3^{\frac{1}{3}},$ $8^{\frac{1}{8}}$

$3^{\frac{1}{3}},$ $9^{\frac{1}{9}}$

$8^{\frac{1}{8}},$ $9^{\frac{1}{9}}$

Ninguna de estas

None of these

Respuesta: A

Conceptos:exponente desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Compara dos raíces elevando ambos números positivos a una potencia común

Compare two roots by raising both positive numbers to a common power

Pista grande:

Primero compara $3^{\frac{1}{3}}$ con $2^{\frac{1}{2}}$ , y luego compara $2^{\frac{1}{2}}$ con cada número restante

First compare $3^{\frac{1}{3}}$ with $2^{\frac{1}{2}}$ , then compare $2^{\frac{1}{2}}$ with each remaining number

Solución:

Al elevar a potencias comunes convenientes se obtiene $(3^{\frac{1}{3}})^6=9>8=(2^{\frac{1}{2}})^6,$ $(2^{\frac{1}{2}})^8=16>8=(8^{\frac{1}{8}})^8,$ y $(2^{\frac{1}{2}})^{18}=512>81=(9^{\frac{1}{9}})^{18}.$ Así, $3^{\frac{1}{3}}$ es el mayor y $2^{\frac{1}{2}}$ es el siguiente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Raising to convenient common powers gives $(3^{\frac{1}{3}})^6=9>8=(2^{\frac{1}{2}})^6,$ $(2^{\frac{1}{2}})^8=16>8=(8^{\frac{1}{8}})^8,$ and $(2^{\frac{1}{2}})^{18}=512>81=(9^{\frac{1}{9}})^{18}.$ Thus $3^{\frac{1}{3}}$ is greatest and $2^{\frac{1}{2}}$ is next.

Therefore, the correct answer is A.

1972 AMC 12 Problema 5

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años