Question

Los puntos $A,$ $B,$ $Q,$ $D,$ y $C$ están en la circunferencia mostrada, y las medidas de los arcos $BQ$ y $QD$ son $42^\circ$ y $38^\circ,$ respectivamente. La suma de las medidas de los ángulos $P$ y $Q$ es:

Points $A,$ $B,$ $Q,$ $D,$ and $C$ lie on the circle shown, and the measures of arcs $BQ$ and $QD$ are $42^\circ$ and $38^\circ,$ respectively. The sum of the measures of angles $P$ and $Q$ is:

$80^\circ$

$62^\circ$

$40^\circ$

$46^\circ$

Ninguna de estas

None of these

Respuesta: C

Conceptos:círculo ángulo inscrito arco persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Usa la fórmula del ángulo exterior formado por dos secantes para el ángulo $P$

Use the external-secant formula for angle $P$

Pista grande:

Al sumar el ángulo $Q$ , se cancela el arco interceptado desconocido

Adding angle $Q$ cancels the unknown intercepted arc

Solución:

Sea $m\overset{\frown}{AC}=u.$ La fórmula del ángulo exterior formado por dos secantes da $m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right),$ mientras que el teorema del ángulo inscrito da $m\angle Q=\frac{u}{2}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $m\overset{\frown}{AC}=u.$ The external-secant formula gives $m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right),$ while the inscribed-angle theorem gives $m\angle Q=\frac{u}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

1971 AMC 12 Problema 5

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años