Soluciones del 1971 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El número de cifras del número $N=2^{12}\times5^8$ es:

The number of digits in the number $N=2^{12}\times5^8$ is:

$9$

$10$

$11$

$12$

$20$

Conceptos:exponente valor posicional emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Empareja tantos factores $2$ y $5$ como sea posible

Pair as many factors of $2$ and $5$ as possible

Pista grande:

Reescribe el número como $2^4\cdot10^8$

Rewrite the number as $2^4\cdot10^8$

Solución:

Tenemos $2^{12}5^8=2^4(2^85^8)$ y $16\cdot10^8=1{,}600{,}000{,}000,$ que tiene $10$ cifras.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

We have $2^{12}5^8=2^4(2^85^8)$ and $16\cdot10^8=1{,}600{,}000{,}000,$ which has $10$ digits.

Therefore, the correct answer is B.

2.

Si $b$ hombres tardan $c$ días en colocar $f$ ladrillos, entonces el número de días que tardarán $c$ hombres, trabajando al mismo ritmo, en colocar $b$ ladrillos es:

If $b$ men take $c$ days to lay $f$ bricks, then the number of days it will take $c$ men working at the same rate to lay $b$ bricks is:

$fb^2$

$\frac{b}{f^2}$

$\frac{f^2}{b}$

$\frac{b^2}{f}$

$\frac{f}{b^2}$

Conceptos:tasa razón y proporción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Calcula cuántos ladrillos coloca un hombre en un día

Find the number of bricks laid by one man in one day

Pista grande:

El ritmo es de $\frac{f}{bc}$ ladrillos por hombre-día

The rate is $\frac{f}{bc}$ bricks per man-day

Solución:

El ritmo es de $\frac{f}{bc}$ ladrillos por hombre-día. Por tanto, $c$ hombres colocan $\frac{f}{b}$ ladrillos al día, así que colocar $b$ ladrillos requiere $\frac{b}{\frac{f}{b}}=\frac{b^2}{f}$ días.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The rate is $\frac{f}{bc}$ bricks per man-day. Thus $c$ men lay $\frac{f}{b}$ bricks per day, so laying $b$ bricks takes $\frac{b}{\frac{f}{b}}=\frac{b^2}{f}$ days.

Therefore, the correct answer is D.

3.

Si el punto $(x,-4)$ está en la recta que une los puntos $(0,8)$ y $(-4,0)$ en el plano $xy$ , entonces $x$ es igual a:

If the point $(x,-4)$ lies on the straight line joining the points $(0,8)$ and $(-4,0)$ in the $xy$ -plane, then $x$ is equal to:

$-2$

$2$

$-8$

$6$

$-6$

Conceptos:geometría analítica pendiente ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Calcula la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos fijos dados

Find the slope through the two given fixed points

Pista grande:

La recta tiene ecuación $y=2x+8$

The line has equation $y=2x+8$

Solución:

La pendiente de la recta que pasa por $(0,8)$ y $(-4,0)$ es $2,$ así que su ecuación es $y=2x+8.$ Al sustituir $y=-4$ , se obtiene $-4=2x+8,$ de donde $x=-6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The slope through $(0,8)$ and $(-4,0)$ is $2,$ so the line is $y=2x+8.$ Substituting $y=-4$ gives $-4=2x+8,$ hence $x=-6.$

Therefore, the correct answer is E.

4.

Después de abonar el interés simple de dos meses a una tasa anual del $5\%$ , una tropa de exploradores tenía un total de $\$255.31$ en la tesorería del consejo. El interés abonado constaba de cierta cantidad de dólares más el siguiente número de centavos:

After simple interest for two months at $5\%$ per annum was credited, a Boy Scout Troop had a total of $\$255.31$ in the Council Treasury. The interest credited was a number of dollars plus the following number of cents:

$11$

$12$

$13$

$21$

$31$

Conceptos:porcentaje dinero tasa

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Dos meses son la sexta parte de un año

Two months is one-sixth of a year

Pista grande:

Si $P$ es el capital, resuelve $255.31=P(1+\frac{0.05}{6})$

If $P$ is the principal, solve $255.31=P(1+\frac{0.05}{6})$

Solución:

Si $P$ es el capital, entonces $\begin{aligned} 255.31&=P\left(1+\frac{0.05}{6}\right)\\ &=P\frac{121}{120}. \end{aligned}$ Por tanto, $P=253.20,$ así que el interés es $\$2.11$ y su parte en centavos es $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $P$ is the principal, then $\begin{aligned} 255.31&=P\left(1+\frac{0.05}{6}\right)\\ &=P\frac{121}{120}. \end{aligned}$ Hence $P=253.20,$ so the interest is $\$2.11$ and its cents part is $11.$

Therefore, the correct answer is A.

5.

Los puntos $A,$ $B,$ $Q,$ $D,$ y $C$ están en la circunferencia mostrada, y las medidas de los arcos $BQ$ y $QD$ son $42^\circ$ y $38^\circ,$ respectivamente. La suma de las medidas de los ángulos $P$ y $Q$ es:

Points $A,$ $B,$ $Q,$ $D,$ and $C$ lie on the circle shown, and the measures of arcs $BQ$ and $QD$ are $42^\circ$ and $38^\circ,$ respectively. The sum of the measures of angles $P$ and $Q$ is:

$80^\circ$

$62^\circ$

$40^\circ$

$46^\circ$

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:círculo ángulo inscrito arco persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Usa la fórmula del ángulo exterior formado por dos secantes para el ángulo $P$

Use the external-secant formula for angle $P$

Pista grande:

Al sumar el ángulo $Q$ , se cancela el arco interceptado desconocido

Adding angle $Q$ cancels the unknown intercepted arc

Solución:

Sea $m\overset{\frown}{AC}=u.$ La fórmula del ángulo exterior formado por dos secantes da $m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right),$ mientras que el teorema del ángulo inscrito da $m\angle Q=\frac{u}{2}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $m\overset{\frown}{AC}=u.$ The external-secant formula gives $m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right),$ while the inscribed-angle theorem gives $m\angle Q=\frac{u}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

6.

Sea $*$ un símbolo que denota la siguiente operación binaria en el conjunto $S$ de todos los números reales no nulos: para cualesquiera $a,$ $b\in S,$ se define $a*b=2ab.$ ¿Cuál afirmación no es verdadera?

Let $*$ be a symbol denoting the binary operation on the set $S$ of all nonzero real numbers as follows: for any $a,$ $b\in S,$ $a*b=2ab.$ Which statement is not true?

$*$ es conmutativa en $S$

$*$ is commutative over $S$

$*$ es asociativa en $S$

$*$ is associative over $S$

$\frac{1}{2}$ es un elemento identidad para $*$ en $S$

$\frac{1}{2}$ is an identity element for $*$ in $S$

Todo elemento de $S$ tiene un inverso respecto de $*$

Every element of $S$ has an inverse for $*$

$\frac{1}{2a}$ es un inverso respecto de $*$ del elemento $a$ de $S$

$\frac{1}{2a}$ is an inverse for $*$ of the element $a$ of $S$

Conceptos:operación personalizada manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Determina primero la identidad $e$ a partir de $a*e=a$

First determine the identity $e$ from $a*e=a$

Pista grande:

Un inverso $x$ de $a$ debe satisfacer $a*x=\frac{1}{2}$

An inverse $x$ of $a$ must satisfy $a*x=\frac{1}{2}$

Solución:

La operación es conmutativa y $(a*b)*c=4abc=a*(b*c),$ por lo que también es asociativa. Su identidad es $\frac{1}{2}.$ El inverso de $a$ debe satisfacer $2ax=\frac{1}{2},$ así que es $x=\frac{1}{4a},$ no $\frac{1}{2a}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The operation is commutative, and $(a*b)*c=4abc=a*(b*c),$ so it is associative. Its identity is $\frac{1}{2}.$ The inverse of $a$ must satisfy $2ax=\frac{1}{2},$ so it is $x=\frac{1}{4a},$ not $\frac{1}{2a}.$

Therefore, the correct answer is E.

7.

$2^{-(2k+1)}-2^{-(2k-1)}+2^{-2k}$ es igual a:

$2^{-(2k+1)}-2^{-(2k-1)}+2^{-2k}$ is equal to:

$2^{-2k}$

$2^{-(2k-1)}$

$-2^{-(2k+1)}$

$0$

$2$

Conceptos:exponente factorización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Factoriza el término con la menor potencia de $2$

Factor out the term with the smallest power of $2$

Pista grande:

Usa $2^{-(2k-1)}=4\cdot2^{-(2k+1)}$

Use $2^{-(2k-1)}=4\cdot2^{-(2k+1)}$

Solución:

Al factorizar se obtiene $2^{-(2k+1)}(1-4+2)=-2^{-(2k+1)}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring gives $2^{-(2k+1)}(1-4+2)=-2^{-(2k+1)}.$

Therefore, the correct answer is C.

8.

El conjunto solución de $6x^2+5x\lt4$ es el conjunto de todos los valores de $x$ tales que:

The solution set of $6x^2+5x\lt4$ is the set of all values of $x$ such that:

$-2\lt x\lt1$

$-\dfrac43\lt x\lt\dfrac12$

$-\dfrac12\lt x\lt\dfrac43$

$x\lt\dfrac12$ o $x\gt-\dfrac43$

$x\lt\dfrac12$ or $x\gt-\dfrac43$

$x\lt-\dfrac43$ o $x\gt\dfrac12$

$x\lt-\dfrac43$ or $x\gt\dfrac12$

Conceptos:desigualdad factorización cuadrática

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pasa $4$ al lado izquierdo y factoriza

Move $4$ to the left and factor

Pista grande:

El producto $(3x+4)(2x-1)$ es negativo entre sus raíces

The product $(3x+4)(2x-1)$ is negative between its roots

Solución:

La desigualdad equivale a $\begin{aligned} 6x^2+5x-4&\lt0,\\ (3x+4)(2x-1)&\lt0. \end{aligned}$ Las raíces son $-\frac{4}{3}$ y $\frac{1}{2},$ y la cuadrática, que abre hacia arriba, es negativa entre ellas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The inequality is $\begin{aligned} 6x^2+5x-4&\lt0,\\ (3x+4)(2x-1)&\lt0. \end{aligned}$ The roots are $-\frac{4}{3}$ and $\frac{1}{2},$ and the upward-opening quadratic is negative between them.

Therefore, the correct answer is B.

9.

Una correa sin cruzar se ajusta sin holgura alrededor de dos poleas circulares de radios $14$ pulgadas y $4$ pulgadas. Si la distancia entre los puntos de contacto de la correa con las poleas es de $24$ pulgadas, entonces la distancia, en pulgadas, entre los centros de las poleas es:

An uncrossed belt is fitted without slack around two circular pulleys with radii of $14$ inches and $4$ inches. If the distance between the points of contact of the belt with the pulleys is $24$ inches, then the distance between the centers of the pulleys in inches is:

$24$

$2\sqrt{119}$

$25$

$26$

$4\sqrt{35}$

Conceptos:círculo recta tangente Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Une los centros y usa la diferencia de los radios

Join the centers and use the difference of the radii

Pista grande:

La distancia entre los centros es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $24$ y $10$

The center distance is the hypotenuse of a right triangle with legs $24$ and $10$

Solución:

La tangente exterior común y los radios trazados a sus puntos de contacto forman un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $24$ y $14-4=10.$ Por tanto, la distancia entre los centros es $\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{676}=26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The common external tangent and the radii to its contact points form a right triangle whose legs are $24$ and $14-4=10.$ Thus the center distance is $\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{676}=26.$

Therefore, the correct answer is D.

10.

Cada una de las $50$ chicas de un grupo es rubia o morena y tiene ojos azules o marrones. Si $14$ son rubias de ojos azules, $31$ son morenas y $18$ tienen ojos marrones, entonces el número de morenas de ojos marrones es:

Each of a group of $50$ girls is blonde or brunette and is blue-eyed or brown-eyed. If $14$ are blue-eyed blondes, $31$ are brunettes, and $18$ are brown-eyed, then the number of brown-eyed brunettes is:

$5$

$7$

$9$

$11$

$13$

Conceptos:Diagrama de Venn conteo básico

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Calcula primero el número total de rubias

First find the total number of blondes

Pista grande:

Resta las rubias de ojos marrones del total de chicas de ojos marrones

Subtract the brown-eyed blondes from all brown-eyed girls

Solución:

Hay $50-31=19$ rubias, de las cuales $19-14=5$ tienen ojos marrones. Por tanto, el número de morenas de ojos marrones es $18-5=13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are $50-31=19$ blondes, of whom $19-14=5$ are brown-eyed. Hence the number of brown-eyed brunettes is $18-5=13.$

Therefore, the correct answer is E.

11.

El numeral $47$ en base $a$ representa el mismo número que $74$ en base $b.$ Suponiendo que ambas bases son enteros positivos, el menor valor posible de $a+b,$ escrito como número romano, es:

The numeral $47$ in base $a$ represents the same number as $74$ in base $b.$ Assuming both bases are positive integers, the least possible value of $a+b,$ written as a Roman numeral, is:

$\mathrm{XIII}$

$\mathrm{XV}$

$\mathrm{XXI}$

$\mathrm{XXIV}$

$\mathrm{XVI}$

Conceptos:base numérica Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Traduce los numerales a la ecuación $4a+7=7b+4$

Translate the numerals into $4a+7=7b+4$

Pista grande:

Ambas bases son mayores que $7$ ; resuelve $4a-7b=-3$ para hallar el menor par válido

Both bases exceed $7$ ; solve $4a-7b=-3$ for the least valid pair

Solución:

La igualdad es $4a+7=7b+4,$ o bien $4a-7b=-3.$ Como ambas cifras deben ser válidas, $a,b\gt7.$ Al reducir módulo $7$ , se obtiene $a\equiv1\pmod7.$ El primer valor válido es $a=15,$ que da $b=9.$ Por tanto, $a+b=24,$ que se escribe $\mathrm{XXIV}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The equality is $4a+7=7b+4,$ or $4a-7b=-3.$ Since both digits must be valid, $a,b\gt7.$ Reducing modulo $7$ gives $a\equiv1\pmod7.$ The first valid value is $a=15,$ which gives $b=9.$ Thus $a+b=24,$ written $\mathrm{XXIV}.$

Therefore, the correct answer is D.

12.

Para cada entero $N\gt1,$ se define que dos enteros positivos son congruentes si dejan el mismo residuo no negativo al dividirlos entre $N.$ Si $69,$ $90,$ y $125$ son congruentes en uno de estos sistemas, entonces, en ese mismo sistema, $81$ es congruente con:

For each integer $N\gt1,$ define positive integers to be congruent if they leave the same nonnegative remainder when divided by $N.$ If $69,$ $90,$ and $125$ are congruent in one such system, then in that same system, $81$ is congruent to:

$3$

$4$

$5$

$7$

$8$

Conceptos:aritmética modular máximo común divisor divisibilidad

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

El módulo divide la diferencia de cualesquiera dos enteros congruentes

The modulus divides the difference of any two congruent integers

Pista grande:

Usa las diferencias $21$ y $35$

Use the differences $21$ and $35$

Solución:

El módulo $N$ divide tanto $90-69=21$ como $125-90=35.$ Como $N\gt1,$ esto obliga a que $N=7.$ Entonces $81\equiv4\pmod7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The modulus $N$ divides both $90-69=21$ and $125-90=35.$ Since $N\gt1,$ this forces $N=7.$ Then $81\equiv4\pmod7.$

Therefore, the correct answer is B.

13.

Si $(1.0025)^{10}$ se evalúa correctamente hasta $5$ cifras decimales, entonces la cifra en la quinta posición decimal es:

If $(1.0025)^{10}$ is evaluated correct to $5$ decimal places, then the digit in the fifth decimal place is:

$0$

$1$

$2$

$5$

$8$

Conceptos:teorema del binomio decimal estimación

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Escribe $1.0025=1+0.0025$

Write $1.0025=1+0.0025$

Pista grande:

En el desarrollo binomial, conserva los términos suficientemente grandes para afectar la quinta cifra decimal

In the binomial expansion, retain terms large enough to affect the fifth decimal place

Solución:

El desarrollo binomial da $\begin{gathered} (1+0.0025)^{10}\\ =1+10(0.0025)\\ \quad+45(0.0025)^2\\ \quad+120(0.0025)^3+\cdots\\ =1.025283125\ldots \end{gathered}$ que se redondea a $1.02528.$ La quinta cifra decimal es $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The binomial expansion gives $\begin{gathered} (1+0.0025)^{10}\\ =1+10(0.0025)\\ \quad+45(0.0025)^2\\ \quad+120(0.0025)^3+\cdots\\ =1.025283125\ldots \end{gathered}$ which rounds to $1.02528.$ The fifth decimal digit is $8.$

Therefore, the correct answer is E.

14.

El número $2^{48}-1$ es divisible exactamente por dos números comprendidos entre $60$ y $70.$ Estos números son:

The number $2^{48}-1$ is exactly divisible by two numbers between $60$ and $70.$ These numbers are:

$61,$ $63$

$61,$ $65$

$63,$ $65$

$63,$ $67$

$67,$ $69$

Conceptos:factorización exponente divisibilidad

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Usa que $2^m-1$ divide a $2^n-1$ siempre que $n$ sea divisible por $m$

Use the fact that $2^m-1$ divides $2^n-1$ whenever $n$ is divisible by $m$

Pista grande:

Reconoce que $63=2^6-1$ y que $2^{12}-1$ es divisible por $65$

Recognize $63=2^6-1$ and that $2^{12}-1$ is divisible by $65$

Solución:

Como $48$ es divisible por $6,$ el número $2^{48}-1$ es divisible por $63=2^6-1.$ Además, $2^{12}-1=4095=63\cdot65,$ y $48$ es divisible por $12,$ por lo que $2^{48}-1$ es divisible por $65.$ Así, los dos números son $63$ y $65.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $48$ is divisible by $6,$ the number $2^{48}-1$ is divisible by $63=2^6-1.$ Also $2^{12}-1=4095=63\cdot65,$ and $48$ is divisible by $12,$ so $2^{48}-1$ is divisible by $65.$ Thus the two numbers are $63$ and $65.$

Therefore, the correct answer is C.

15.

Un acuario sobre una mesa horizontal tiene caras rectangulares, mide $10$ pulgadas de ancho y $8$ pulgadas de alto. Al inclinarlo, el agua cubría exactamente un extremo de $8$ pulgadas por $10$ pulgadas, pero solo tres cuartos del fondo rectangular. La profundidad del agua cuando el fondo volvió a quedar horizontal era:

An aquarium on a level table has rectangular faces and is $10$ inches wide and $8$ inches high. When it was tilted, the water in it just covered an $8$ -inch by $10$ -inch end but only three-fourths of the rectangular bottom. The depth of the water when the bottom was again made level was:

$2\tfrac12$ pulgadas

$2\tfrac12$ inches

$3$ pulgadas

$3$ inches

$3\tfrac14$ pulgadas

$3\tfrac14$ inches

$3\tfrac12$ pulgadas

$3\tfrac12$ inches

$4$ pulgadas

$4$ inches

Conceptos:volumen área del triángulo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Compara el volumen de agua en las posiciones inclinada y horizontal

Compare the water volume in the tilted and level positions

Pista grande:

La sección lateral inclinada es un triángulo de altura $8$ y base igual a tres cuartos de la longitud del acuario

The tilted side view is a triangle with height $8$ and base three-fourths of the aquarium length

Solución:

Sea $L$ la longitud del acuario y $h$ la profundidad del agua cuando está horizontal. En la posición inclinada, la sección longitudinal del agua es un triángulo de base $\frac{3L}{4}$ y altura $8.$ Por tanto, $10\left(\frac12\cdot\frac{3L}{4}\cdot8\right)=10Lh,$ de modo que $h=3$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the aquarium length be $L$ and the level-water depth be $h.$ In the tilted position the longitudinal cross-section of the water is a triangle with base $\frac{3L}{4}$ and height $8.$ Therefore $10\left(\frac12\cdot\frac{3L}{4}\cdot8\right)=10Lh,$ so $h=3$ inches.

Therefore, the correct answer is B.

16.

Después de calcular el promedio de $35$ puntuaciones, un estudiante incluyó por descuido ese promedio junto con las $35$ puntuaciones y calculó el promedio de estos $36$ números. La razón del segundo promedio al promedio verdadero era:

After finding the average of $35$ scores, a student carelessly included the average with the $35$ scores and found the average of these $36$ numbers. The ratio of the second average to the true average was:

$1:1$

$35:36$

$36:35$

$2:1$

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:media manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Llama $x$ al promedio original

Call the original average $x$

Pista grande:

La suma original es $35x$ , y el número añadido también es $x$

The original sum is $35x$ , and the extra number is also $x$

Solución:

Si el promedio verdadero es $x,$ entonces la suma original es $35x.$ Al incluir el propio $x$ , se obtiene una suma de $36x$ entre $36$ números, de modo que el nuevo promedio sigue siendo $x.$ La razón es $1:1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the true average is $x,$ then the original sum is $35x.$ Including $x$ itself gives a sum of $36x$ over $36$ numbers, so the new average is still $x.$ The ratio is $1:1.$

Therefore, the correct answer is A.

17.

Un disco circular se divide mediante $2n$ radios igualmente espaciados $(n\gt0)$ y una recta secante. El número máximo de regiones no superpuestas en que puede dividirse el disco es:

A circular disk is divided by $2n$ equally spaced radii $(n\gt0)$ and one secant line. The maximum number of nonoverlapping areas into which the disk can be divided is:

$2n+1$

$2n+2$

$3n-1$

$3n$

$3n+1$

Conceptos:conteo de regiones conteo de intersecciones círculo

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Comienza con los $2n$ sectores formados por los radios

Begin with the $2n$ sectors made by the radii

Pista grande:

Una secante puede cortar como máximo $n$ radios; cuenta después los segmentos de la cuerda secante

A secant can cross at most $n$ of the radii, so count the pieces of the secant chord

Solución:

Los radios forman primero $2n$ sectores. Una secante que no pase por el centro puede cortar como máximo un radio de cada uno de los $n$ pares opuestos, y por tanto como máximo $n$ radios. Esas intersecciones dividen la cuerda secante en $n+1$ segmentos, cada uno de los cuales añade una región. El máximo es, por tanto, $2n+(n+1)=3n+1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The radii first make $2n$ sectors. A secant not through the center can meet at most one radius in each of $n$ opposite pairs, hence at most $n$ radii. Those intersections divide the secant chord into $n+1$ pieces, each of which adds one region. The maximum is therefore $2n+(n+1)=3n+1.$

Therefore, the correct answer is E.

18.

La corriente de un río fluye uniformemente a $3$ millas por hora. Una lancha que viaja a velocidad constante en aguas quietas recorre $4$ millas río abajo y luego regresa al punto de partida. El viaje dura una hora, sin contar el tiempo de giro. La razón entre la velocidad río abajo y la velocidad río arriba es:

The current in a river flows steadily at $3$ miles per hour. A motorboat traveling at a constant rate in still water goes downstream $4$ miles and then returns to its starting point. The trip takes one hour, excluding turning time. The ratio of the downstream rate to the upstream rate is:

$4:3$

$3:2$

$5:3$

$2:1$

$5:2$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo cuadrática

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Sea $v$ la velocidad de la lancha en aguas quietas

Let $v$ be the boat’s still-water speed

Pista grande:

Resuelve $\frac{4}{v+3}+\frac{4}{v-3}=1$

Solve $\frac{4}{v+3}+\frac{4}{v-3}=1$

Solución:

Si $v$ es la velocidad en aguas quietas, entonces $\frac4{v+3}+\frac4{v-3}=1.$ Esto se simplifica a $v^2-8v-9=0,$ cuya solución positiva admisible es $v=9.$ Las velocidades río abajo y río arriba son $12$ y $6,$ cuya razón es $2:1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $v$ is the still-water speed, then $\frac4{v+3}+\frac4{v-3}=1.$ This simplifies to $v^2-8v-9=0,$ so the positive admissible solution is $v=9.$ The downstream and upstream rates are $12$ and $6,$ whose ratio is $2:1.$

Therefore, the correct answer is D.

19.

Si la recta $y=mx+1$ corta a la elipse $x^2+4y^2=1$ exactamente una vez, entonces el valor de $m^2$ es:

If the line $y=mx+1$ intersects the ellipse $x^2+4y^2=1$ exactly once, then the value of $m^2$ is:

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{5}$

$\frac{5}{6}$

Conceptos:elipse recta tangente cuadrática

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

Sustituye la ecuación de la recta en la de la elipse

Substitute the line equation into the ellipse

Pista grande:

Una sola intersección significa que el discriminante de la cuadrática resultante es cero

Exactly one intersection means the resulting quadratic has discriminant zero

Solución:

La sustitución da $(1+4m^2)x^2+8mx+3=0.$ La tangencia exige que el discriminante sea cero: $64m^2-12(1+4m^2)=0.$ Por tanto, $16m^2=12,$ y así $m^2=\frac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substitution gives $(1+4m^2)x^2+8mx+3=0.$ Tangency requires its discriminant to vanish: $64m^2-12(1+4m^2)=0.$ Thus $16m^2=12,$ so $m^2=\frac{3}{4}.$

Therefore, the correct answer is C.

20.

La suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación $x^2+2hx=3$ es $10.$ El valor absoluto de $h$ es igual a:

The sum of the squares of the roots of the equation $x^2+2hx=3$ is $10.$ The absolute value of $h$ is equal to:

$-1$

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

$2$

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Usa la suma y el producto de las dos raíces

Use the sum and product of the two roots

Pista grande:

Si las raíces son $r,s,$ entonces $r+s=-2h$ y $rs=-3$

If the roots are $r,s,$ then $r+s=-2h$ and $rs=-3$

Solución:

Para las raíces $r,s,$ las fórmulas de Vieta dan $r+s=-2h$ y $rs=-3.$ Por tanto, $\begin{aligned} 4h^2=(r+s)^2 &=r^2+s^2+2rs\\ &=10-6=4. \end{aligned}$ Así, $|h|=1,$ que no aparece entre las opciones A-D porque la opción A es $-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For roots $r,s,$ Vieta’s formulas give $r+s=-2h$ and $rs=-3.$ Hence $\begin{aligned} 4h^2=(r+s)^2 &=r^2+s^2+2rs\\ &=10-6=4. \end{aligned}$ Therefore $|h|=1,$ which is not among choices A-D because choice A is $-1.$

Therefore, the correct answer is E.

21.

Si $\begin{gathered} \log_2(\log_3(\log_4x))=0,\\ \log_3(\log_4(\log_2y))=0,\\ \log_4(\log_2(\log_3z))=0, \end{gathered}$ entonces $x+y+z$ es igual a:

If $\begin{gathered} \log_2(\log_3(\log_4x))=0,\\ \log_3(\log_4(\log_2y))=0,\\ \log_4(\log_2(\log_3z))=0, \end{gathered}$ then $x+y+z$ is equal to:

$50$

$58$

$89$

$111$

$1296$

Conceptos:logaritmo exponente función

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Deshaz cada logaritmo desde el exterior hacia el interior

Undo each logarithm from the outside inward

Pista grande:

Para la primera cadena, los valores interiores sucesivos son $1,3,$ y luego $x=4^3$

For the first chain, the successive inner values are $1,3,$ and then $x=4^3$

Solución:

Al deshacer los logaritmos desde el exterior hacia el interior se obtiene $\begin{gathered} x=4^3=64,\\ y=2^4=16,\\ z=3^2=9. \end{gathered}$ Por tanto, $x+y+z=64+16+9=89.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Undoing the logarithms from the outside inward gives $\begin{gathered} x=4^3=64,\\ y=2^4=16,\\ z=3^2=9. \end{gathered}$ Therefore $x+y+z=64+16+9=89.$

Therefore, the correct answer is C.

22.

Si $w$ es una de las raíces imaginarias de $x^3=1,$ entonces $(1-w+w^2)(1+w-w^2)$ es igual a:

If $w$ is one of the imaginary roots of $x^3=1,$ then $(1-w+w^2)(1+w-w^2)$ is equal to:

$4$

$w$

$2$

$w^2$

$1$

Conceptos:número complejo raíces de la unidad factorización

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Usa $w^2+w+1=0$

Use $w^2+w+1=0$

Pista grande:

Sustituye $1+w^2$ por $-w$ y $1+w$ por $-w^2$

Replace $1+w^2$ by $-w$ and $1+w$ by $-w^2$

Solución:

Como $w\ne1$ y $w^3=1,$ tenemos $1+w+w^2=0.$ Por tanto, $\begin{gathered} 1-w+w^2=-2w,\\ 1+w-w^2=-2w^2. \end{gathered}$ Su producto es $4w^3=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Because $w\ne1$ and $w^3=1,$ we have $1+w+w^2=0.$ Thus $\begin{gathered} 1-w+w^2=-2w,\\ 1+w-w^2=-2w^2. \end{gathered}$ Their product is $4w^3=4.$

Therefore, the correct answer is A.

23.

Los equipos $A$ y $B$ disputan una serie de partidos. Si ambos equipos tienen la misma probabilidad de ganar cada partido, y el equipo $A$ debe ganar dos partidos mientras que el equipo $B$ debe ganar tres para llevarse la serie, entonces las probabilidades a favor de que el equipo $A$ gane la serie son:

Teams $A$ and $B$ are playing a series of games. If either team has an equal chance to win any game, and Team $A$ must win two games while Team $B$ must win three games to win the series, then the odds favoring Team $A$ to win the series are:

$11$ a $5$

$11$ to $5$

$5$ a $2$

$5$ to $2$

$8$ a $3$

$8$ to $3$

$3$ a $2$

$3$ to $2$

$13$ a $6$

$13$ to $6$

Conceptos:probabilidad básica probabilidad complementaria análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Es más breve enumerar las maneras en que el equipo $A$ puede perder

It is shorter to enumerate the ways Team $A$ can lose

Pista grande:

Antes de la segunda victoria de $A$ , $B$ puede terminar con BBB, ABBB, BABB o BBAB

Before $A$ ’s second win, $B$ can finish as BBB, ABBB, BABB, or BBAB

Solución:

El equipo $A$ pierde en las secuencias BBB, ABBB, BABB y BBAB. Su probabilidad total es $\frac18+3\left(\frac1{16}\right)=\frac5{16}.$ Por tanto, el equipo $A$ gana con probabilidad $\frac{11}{16},$ así que las probabilidades a su favor son $11:5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Team $A$ loses in the sequences BBB, ABBB, BABB, and BBAB. Their total probability is $\frac18+3\left(\frac1{16}\right)=\frac5{16}.$ Thus Team $A$ wins with probability $\frac{11}{16},$ so the odds in its favor are $11:5.$

Therefore, the correct answer is A.

24.

El triángulo de Pascal es un arreglo de enteros positivos, mostrado abajo, en el que la primera fila es $1,$ la segunda fila contiene dos $1$ , cada fila comienza y termina con $1,$ y cada otra entrada es la suma de las dos entradas situadas encima.

El cociente entre el número de entradas de las primeras $n$ filas que no son $1$ y el número de entradas que sí son $1$ es:

Pascal’s triangle is an array of positive integers, shown below, in which the first row is $1,$ the second row is two $1$ ’s, each row begins and ends with $1,$ and each other entry is the sum of the two entries above it.

The quotient of the number of entries in the first $n$ rows which are not $1$ ’s and the number of $1$ ’s is:

$\dfrac{n^2-n}{2n-1}$

$\dfrac{n^2-n}{4n-2}$

$\dfrac{n^2-2n}{2n-1}$

$\dfrac{n^2-3n+2}{4n-2}$

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:Triángulo de Pascal sucesión aritmética conteo básico

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Cuenta todas las entradas y resta después los $1$ de la frontera

Count all entries and then subtract the boundary $1$ ’s

Pista grande:

Las primeras $n$ filas contienen $\frac{n(n+1)}{2}$ entradas y $2n-1$ valores $1$ en la frontera

The first $n$ rows contain $\frac{n(n+1)}{2}$ entries and $2n-1$ boundary $1$ ’s

Solución:

Las primeras $n$ filas contienen $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ entradas. Hay $2n-1$ valores $1$ en la frontera, así que el número de las demás entradas es $\begin{gathered} \frac{n(n+1)}2-(2n-1)\\ =\frac{n^2+n-4n+2}{2}\\ =\frac{n^2-3n+2}{2}. \end{gathered}$ Al dividir entre $2n-1$ , se obtiene $\frac{n^2-3n+2}{4n-2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first $n$ rows contain $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ entries. There are $2n-1$ boundary $1$ ’s, so the number of other entries is $\begin{gathered} \frac{n(n+1)}2-(2n-1)\\ =\frac{n^2+n-4n+2}{2}\\ =\frac{n^2-3n+2}{2}. \end{gathered}$ Dividing by $2n-1$ gives $\frac{n^2-3n+2}{4n-2}.$

Therefore, the correct answer is D.

25.

Un adolescente escribió su edad después de la de su padre. De este nuevo número de cuatro cifras restó el valor absoluto de la diferencia entre sus edades y obtuvo $4{,}289.$ La suma de sus edades era:

A teenage boy wrote his own age after his father’s. From this new four-place number, he subtracted the absolute value of the difference of their ages to get $4{,}289.$ The sum of their ages was:

$48$

$52$

$56$

$59$

$64$

Conceptos:edades dígitos Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sea $f$ la edad del padre y $b$ la del muchacho

Let the father’s age be $f$ and the boy’s age be $b$

Pista grande:

El número concatenado es $100f+b$ , así que usa $99f+2b=4289$

The concatenated number is $100f+b$ , so use $99f+2b=4289$

Solución:

Sean $f$ y $b$ las edades del padre y del muchacho. Como $f\gt b,$ $\begin{aligned} 100f+b-(f-b)&=4289,\\ 99f+2b&=4289. \end{aligned}$ El muchacho es adolescente, así que $13\le b\le19.$ Al reducir módulo $9$ , se obtiene $2b\equiv5\pmod9,$ de donde $b=16.$ Entonces $f=\frac{4289-32}{99}=43,$ y $f+b=59.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the father and boy be $f$ and $b$ years old. Since $f\gt b,$ $\begin{aligned} 100f+b-(f-b)&=4289,\\ 99f+2b&=4289. \end{aligned}$ The boy is a teenager, so $13\le b\le19.$ Reducing modulo $9$ gives $2b\equiv5\pmod9,$ hence $b=16.$ Then $f=\frac{4289-32}{99}=43,$ and $f+b=59.$

Therefore, the correct answer is D.

26.

En el triángulo $ABC,$ el punto $F$ divide el lado $AC$ en la razón $1:2.$ Sea $E$ el punto donde el lado $BC$ corta a $AG,$ siendo $G$ el punto medio de $BF.$ Entonces $E$ divide $BC$ en la razón:

In triangle $ABC,$ point $F$ divides side $AC$ in the ratio $1:2.$ Let $E$ be the point where side $BC$ meets $AG,$ where $G$ is the midpoint of $BF.$ Then $E$ divides $BC$ in the ratio:

$1:4$

$1:3$

$2:5$

$4:11$

$3:8$

Conceptos:puntos de masa punto medio razón y proporción

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Asigna masas a los extremos de modo que $AF:FC=1:2$

Assign endpoint masses so that $AF:FC=1:2$

Pista grande:

La condición de punto medio hace iguales las masas en $B$ y $F$

The midpoint condition makes the masses at $B$ and $F$ equal

Solución:

Usa puntos de masa. Como $AF:FC=1:2,$ asigna masas $2$ y $1$ a $A$ y $C,$ de modo que la masa en $F$ sea $3.$ Puesto que $G$ es el punto medio de $BF,$ la masa en $B$ también es $3.$ Por tanto, $BE:EC=m_C:m_B=1:3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Use mass points. Since $AF:FC=1:2,$ assign masses $2$ and $1$ to $A$ and $C,$ so the mass at $F$ is $3.$ Because $G$ is the midpoint of $BF,$ the mass at $B$ is also $3.$ Therefore $BE:EC=m_C:m_B=1:3.$

Therefore, the correct answer is B.

27.

Una caja contiene fichas, cada una de las cuales es roja, blanca o azul. El número de fichas azules es al menos la mitad del número de fichas blancas y como máximo un tercio del número de fichas rojas. El número de fichas blancas o azules es al menos $55.$ El número mínimo de fichas rojas es:

A box contains chips, each of which is red, white, or blue. The number of blue chips is at least half the number of white chips and at most one-third the number of red chips. The number which are white or blue is at least $55.$ The minimum number of red chips is:

$24$

$33$

$45$

$54$

$57$

Conceptos:desigualdad optimización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sean $r,w,b$ las cantidades y traduce cada condición a una desigualdad

Let the counts be $r,w,b$ and translate every condition into an inequality

Pista grande:

A partir de $w\le2b$ y $w+b\ge55$ , halla el menor entero posible $b$

From $w\le2b$ and $w+b\ge55$ , find the least possible integer $b$

Solución:

Sean $r,w,b$ las cantidades. Las condiciones dan $\begin{gathered} w\le2b,\\ r\ge3b,\\ w+b\ge55. \end{gathered}$ Por tanto, $3b\ge w+b\ge55,$ así que $b\ge19$ y $r\ge57.$ La igualdad es posible con $(w,b,r)=(36,19,57),$ por lo que el mínimo es $57.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the counts be $r,w,b.$ The conditions give $\begin{gathered} w\le2b,\\ r\ge3b,\\ w+b\ge55. \end{gathered}$ Hence $3b\ge w+b\ge55,$ so $b\ge19$ and $r\ge57.$ Equality is possible with $(w,b,r)=(36,19,57),$ so the minimum is $57.$

Therefore, the correct answer is E.

28.

Nueve rectas paralelas a la base de un triángulo dividen cada uno de los otros lados en $10$ segmentos iguales y el área en $10$ partes distintas. Si el área de la mayor de estas partes es $38,$ entonces el área del triángulo original es:

Nine lines parallel to the base of a triangle divide the other sides each into $10$ equal segments and the area into $10$ distinct parts. If the area of the largest of these parts is $38,$ then the area of the original triangle is:

$180$

$190$

$200$

$210$

$240$

Conceptos:semejanza razón de áreas descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

La parte mayor es la franja inferior

The largest part is the bottom strip

Pista grande:

El triángulo menor situado sobre esa franja tiene factor de escala lineal $\frac{9}{10}$

The smaller triangle above that strip has linear scale $\frac{9}{10}$

Solución:

Si el área total es $K,$ el triángulo situado sobre la franja inferior es semejante al original con factor de escala $\frac{9}{10},$ por lo que su área es $\frac{81K}{100}.$ Así, la franja mayor tiene área $K-\frac{81K}{100}=\frac{19K}{100}=38,$ lo que da $K=200.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the whole area is $K,$ the triangle above the bottom strip is similar to the original with scale $\frac{9}{10},$ so its area is $\frac{81K}{100}.$ Thus the largest strip has area $K-\frac{81K}{100}=\frac{19K}{100}=38,$ giving $K=200.$

Therefore, the correct answer is C.

29.

Dada la progresión $\begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}, \end{gathered}$ el menor entero positivo $n$ tal que el producto de los primeros $n$ términos excede $100{,}000$ es:

Given the progression $\begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}, \end{gathered}$ the least positive integer $n$ such that the product of the first $n$ terms exceeds $100{,}000$ is:

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:sucesión geométrica exponente número triangular desigualdad

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Suma los exponentes al multiplicar los términos

Add the exponents when multiplying the terms

Pista grande:

Exige $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$ , teniendo en cuenta que la igualdad no basta

Require $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$ , noting that equality is not enough

Solución:

El producto es $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ Excede $100{,}000=10^5$ exactamente cuando $n(n+1)\gt110.$ Para $n=10$ hay igualdad, mientras que $n=11$ sí funciona.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The product is $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ It exceeds $100{,}000=10^5$ exactly when $n(n+1)\gt110.$ For $n=10$ there is equality, while $n=11$ works.

Therefore, the correct answer is E.

30.

Dada la transformación fraccionaria lineal $f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1},$ define $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$ para $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Suponiendo que $f_{35}(x)=f_5(x),$ se deduce que $f_{28}(x)$ es igual a:

Given the linear fractional transformation $f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1},$ define $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$ for $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Assuming $f_{35}(x)=f_5(x),$ it follows that $f_{28}(x)$ is equal to:

$x$

$\frac{1}{x}$

$\frac{x-1}{x}$

$\frac{1}{1-x}$

Ninguna de estas

None of these

Conceptos:función recursión transformación

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Cancela cinco iteraciones componiendo con la transformación inversa

Cancel five iterates by composing with the inverse transformation

Pista grande:

Si $g=f_1^{-1}$ , entonces $f_{28}=g^2$ una vez que $f_{30}$ es la identidad

If $g=f_1^{-1}$ , then $f_{28}=g^2$ once $f_{30}$ is the identity

Solución:

La transformación es invertible. A partir de $f_{35}=f_5,$ al componer con $f_5^{-1}$ se ve que $f_{30}$ es la identidad. Al despejar $x$ en $y=\frac{2x-1}{x+1}$ , se obtiene $g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}.$ Como las iteraciones tienen período $30,$ $f_{28}=f_{-2}=g^2.$ La composición directa da $g(g(x))=\frac{1}{1-x}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The transformation is invertible. From $f_{35}=f_5,$ composing with $f_5^{-1}$ shows that $f_{30}$ is the identity. Solving $y=\frac{2x-1}{x+1}$ for $x$ gives $g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}.$ Since iterates have period $30,$ $f_{28}=f_{-2}=g^2.$ Direct composition gives $g(g(x))=\frac{1}{1-x}.$

Therefore, the correct answer is D.

31.

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia y el lado $AD$ es un diámetro de longitud $4.$ Si los lados $AB$ y $BC$ tienen longitud $1,$ entonces el lado $CD$ tiene longitud:

Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle with side $AD,$ a diameter of length $4.$ If sides $AB$ and $BC$ each have length $1,$ then side $CD$ has length:

$\frac{7}{2}$

$\frac{5\sqrt2}{2}$

$\sqrt{11}$

$\sqrt{13}$

$2\sqrt3$

Conceptos:círculo cuerda identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Las cuerdas iguales $AB$ y $BC$ subtienden ángulos centrales iguales

Equal chords $AB$ and $BC$ subtend equal central angles

Pista grande:

Si la mitad de cualquiera de esos ángulos centrales es $t$ , entonces $4\sin t=1$ y $CD=4\cos(2t)$

If half of either central angle is $t$ , then $4\sin t=1$ and $CD=4\cos(2t)$

Solución:

La circunferencia tiene radio $2.$ Sean $2t$ los ángulos centrales subtendidos por las cuerdas iguales $AB$ y $BC$ . Entonces $1=4\sin t,$ por lo que $\sin t=\frac{1}{4}.$ El ángulo central restante desde $C$ hasta $D$ a lo largo del semicírculo es $\pi-4t,$ y por tanto $\begin{aligned} CD&=4\sin\left(\frac{\pi-4t}{2}\right)\\ &=4\cos(2t)\\ &=4\left(1-2\cdot\frac1{16}\right)\\ &=\frac72. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The circle has radius $2.$ Let the central angles subtending the equal chords $AB$ and $BC$ each be $2t.$ Then $1=4\sin t,$ so $\sin t=\frac{1}{4}.$ The remaining central angle from $C$ to $D$ along the semicircle is $\pi-4t,$ hence $\begin{aligned} CD&=4\sin\left(\frac{\pi-4t}{2}\right)\\ &=4\cos(2t)\\ &=4\left(1-2\cdot\frac1{16}\right)\\ &=\frac72. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

32.

Si $\begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}}), \end{aligned}$ entonces $s$ es igual a:

If $\begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}}), \end{aligned}$ then $s$ is equal to:

$\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}$

$(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}$

$1-2^{-\frac{1}{32}}$

$\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})$

$\frac{1}{2}$

Conceptos:diferencia de cuadrados telescópica exponente

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Sea $x=2^{-\frac{1}{32}}$

Set $x=2^{-\frac{1}{32}}$

Pista grande:

Aplica repetidamente la identidad de diferencia de cuadrados hasta el factor $1+x^{16}$

Apply the difference-of-squares identity repeatedly through the factor $1+x^{16}$

Solución:

Sea $x=2^{-\frac{1}{32}}.$ Entonces $\begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12. \end{aligned}$ Por tanto, $s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $x=2^{-\frac{1}{32}}.$ Then $\begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12. \end{aligned}$ Therefore $s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}.$

Therefore, the correct answer is A.

33.

Si $P$ es el producto de $n$ cantidades en progresión geométrica, $S$ es su suma y $S'$ es la suma de sus recíprocos, entonces $P$ , en términos de $S,$ $S'$ y $n$ , es:

If $P$ is the product of $n$ quantities in geometric progression, $S$ their sum, and $S'$ the sum of their reciprocals, then $P$ in terms of $S,$ $S',$ and $n$ is:

$(SS')^{\frac{n}{2}}$

$(\frac{S}{S'})^{\frac{n}{2}}$

$(SS')^{n-2}$

$(\frac{S}{S'})^n$

$(\frac{S}{S'})^{\frac{n-1}{2}}$

Conceptos:sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Escribe la progresión como $a,ar,\ldots,ar^{n-1}$

Write the progression as $a,ar,\ldots,ar^{n-1}$

Pista grande:

Demuestra que $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}$ , cuya potencia $\frac{n}{2}$ es el producto

Show that $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}$ , whose $\frac{n}{2}$ power is the product

Solución:

Escribe los términos como $a,ar,\ldots,ar^{n-1}.$ Al invertir el orden de la suma de los recíprocos se obtiene $S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}},$ de modo que $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}.$ Por otra parte, $\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write the terms as $a,ar,\ldots,ar^{n-1}.$ Reversing the reciprocal sum gives $S'=\frac{S}{a^2r^{n-1}},$ so $\frac{S}{S'}=a^2r^{n-1}.$ Meanwhile $\begin{aligned} P&=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}}\\ &=\left(a^2r^{n-1}\right)^{\frac{n}{2}}\\ &=\left(\frac{S}{S'}\right)^{\frac{n}{2}}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

34.

Un reloj común de una fábrica se atrasa de tal modo que el minutero alcanza a la manecilla de las horas en las posiciones habituales de la esfera (las $12$ , etc.), pero solo cada $69$ minutos. Con pago de tiempo y medio por horas extra, el pago adicional que le corresponde a un trabajador que gana $\$4.00$ por hora después de completar una jornada normal de $8$ horas según ese reloj atrasado es:

An ordinary clock in a factory is running slow so that the minute hand passes the hour hand at the usual dial positions ( $12$ o’clock, etc.) but only every $69$ minutes. At time and one-half for overtime, the extra pay to which a $\$4.00$ -per-hour worker should be entitled after working a normal $8$ -hour day by that slow-running clock is:

$\$2.30$

$\$2.60$

$\$2.80$

$\$3.00$

$\$3.30$

Conceptos:reloj tasa dinero razón y proporción

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Las manecillas de un reloj normal se superponen cada $\frac{720}{11}$ minutos

A normal clock’s hands pass every $\frac{720}{11}$ minutes

Pista grande:

Once intervalos del reloj atrasado suman $12$ horas indicadas, pero $12$ horas y $39$ minutos de tiempo real

Eleven slow-clock intervals total $12$ displayed hours but $12$ hours $39$ minutes of real time

Solución:

Las superposiciones sucesivas de las manecillas están separadas por $\frac{720}{11}$ minutos reales, mientras que este reloj atrasado indica $69$ minutos entre ellas. Así, $12$ horas indicadas corresponden a $759$ minutos reales, pues $11\cdot69=759=12\cdot60+39.$ Por tanto, ocho horas indicadas duran $8$ horas y $26$ minutos, de modo que hay $26$ minutos de tiempo extra. A $\$6$ por hora, corresponden $\$2.60.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Successive hand-overlaps are $\frac{720}{11}$ real minutes apart, while this slow clock displays $69$ minutes between them. Thus $12$ displayed hours correspond to $759$ real minutes, since $11\cdot69=759=12\cdot60+39.$ Eight displayed hours therefore take $8$ hours $26$ minutes, so the overtime is $26$ minutes. At $\$6$ per hour, that pays $\$2.60.$

Therefore, the correct answer is B.

35.

Cada círculo de una sucesión infinita de radios decrecientes es tangente exteriormente al círculo siguiente y a ambos lados de un ángulo recto dado. La razón del área del primer círculo a la suma de las áreas de todos los demás círculos de la sucesión es:

Each circle in an infinite sequence with decreasing radii is tangent externally to the one following it and to both sides of a given right angle. The ratio of the area of the first circle to the sum of the areas of all the other circles in the sequence is:

$(4+3\sqrt2):4$

$9\sqrt2:2$

$(16+12\sqrt2):1$

$(2+2\sqrt2):1$

$(3+2\sqrt2):1$

Conceptos:circunferencias tangentes sucesión geométrica razón de áreas radical

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Los centros están en la bisectriz del ángulo; halla la razón entre radios consecutivos

The centers lie on the angle bisector; find the ratio of consecutive radii

Pista grande:

La razón de radios es $3-2\sqrt2$ , así que la razón de áreas es su cuadrado

The radius ratio is $3-2\sqrt2$ , so the area ratio is its square

Solución:

Si los radios consecutivos son $r\gt r',$ sus centros están en la bisectriz del ángulo a distancias $r\sqrt2$ y $r'\sqrt2$ del vértice. La tangencia exterior da $\sqrt2(r-r')=r+r',$ por lo que $\frac{r'}{r}=3-2\sqrt2.$ La razón de áreas consecutivas es $q=(3-2\sqrt2)^2.$ Por tanto, el área del primer círculo dividida entre la suma de todas las áreas posteriores es $\begin{aligned} \frac{1-q}{q} &=\frac1q-1\\ &=(3+2\sqrt2)^2-1\\ &=16+12\sqrt2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If consecutive radii are $r\gt r',$ their centers lie on the angle bisector at distances $r\sqrt2$ and $r'\sqrt2$ from the vertex. External tangency gives $\sqrt2(r-r')=r+r',$ so $\frac{r'}{r}=3-2\sqrt2.$ The ratio of successive areas is $q=(3-2\sqrt2)^2.$ Therefore the first area divided by the sum of all later areas is $\begin{aligned} \frac{1-q}{q} &=\frac1q-1\\ &=(3+2\sqrt2)^2-1\\ &=16+12\sqrt2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.