Question

En la figura de abajo, el cuadrado exterior contiene infinitos cuadrados, cada uno de ellos con el mismo centro y lados paralelos al cuadrado exterior. La razón entre la longitud del lado de un cuadrado y la longitud del lado del siguiente cuadrado interior es $k,$ donde $0 \lt k \lt 1.$ Los espacios entre los cuadrados están sombreados de forma alterna, como se muestra en la figura (que no está necesariamente dibujada a escala).

El área de la parte sombreada de la figura es el $64\%$ del área del cuadrado original. ¿Cuánto vale $k$ ?

In the figure below, the outside square contains infinitely many squares, each of them with the same center and sides parallel to the outside square. The ratio of the side length of a square to the side length of the next inner square is $k,$ where $0 \lt k \lt 1.$ The spaces between squares are alternately shaded, as shown in the figure (which is not necessarily drawn to scale).

The area of the shaded portion of the figure is $64\%$ of the area of the original square. What is $k?$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{16}{25}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

Solución:

Supongamos que el cuadrado exterior tiene área $1.$ Los cuadrados anidados tienen áreas $1, k^2, k^4, \ldots,$ así que el anillo entre el $n$ -ésimo cuadrado y el $(n+1)$ -ésimo tiene área $k^{2n}(1-k^2).$

Los anillos sombreados son los alternos $n = 0, 2, 4, \ldots,$ con área total $\begin{aligned} \sum_{j=0}^{\infty} k^{4j}(1-k^2) &= \frac{1-k^2}{1-k^4} \\ &= \frac{1}{1+k^2}. \end{aligned}$

Igualando $\dfrac{1}{1+k^2} = \dfrac{16}{25}$ se obtiene $1 + k^2 = \dfrac{25}{16},$ así que $k^2 = \dfrac{9}{16}$ y $k = \dfrac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the outer square have area $1.$ The nested squares have areas $1, k^2, k^4, \ldots,$ so the ring between the $n$ th and $(n+1)$ th squares has area $k^{2n}(1-k^2).$

The shaded rings are the alternate ones $n = 0, 2, 4, \ldots,$ with total area $\begin{aligned} \sum_{j=0}^{\infty} k^{4j}(1-k^2) &= \frac{1-k^2}{1-k^4} \\ &= \frac{1}{1+k^2}. \end{aligned}$

Setting $\dfrac{1}{1+k^2} = \dfrac{16}{25}$ gives $1 + k^2 = \dfrac{25}{16},$ so $k^2 = \dfrac{9}{16}$ and $k = \dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is D.

2025 AMC 12A Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años