Question

Agnes escribe las siguientes cuatro afirmaciones en una hoja de papel en blanco.

• Al menos una de estas afirmaciones es verdadera.

• Al menos dos de estas afirmaciones son verdaderas.

• Al menos dos de estas afirmaciones son falsas.

• Al menos una de estas afirmaciones es falsa.

Cada afirmación es verdadera o falsa. ¿Cuántas afirmaciones falsas escribió Agnes en el papel?

Agnes writes the following four statements on a blank piece of paper.

• At least one of these statements is true.

• At least two of these statements are true.

• At least two of these statements are false.

• At least one of these statements is false.

Each statement is either true or false. How many false statements did Agnes write on the paper?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: B

Conceptos:deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Sea $T$ el número de afirmaciones verdaderas; las cuatro aseveraciones dicen $T\ge1,$ $T\ge2,$ $T\le2,$ $T\le3$

Let $T$ be the number of true statements; the four claims say $T\ge1,$ $T\ge2,$ $T\le2,$ $T\le3$

Pista grande:

Encuentra el valor de $T$ para el cual exactamente $T$ de las cuatro condiciones se cumplen

Find the value of $T$ for which exactly $T$ of the four conditions hold

Solución:

Sea $T$ el número de afirmaciones verdaderas. Las afirmaciones aseveran $T \ge 1,$ $T \ge 2,$ $T \le 2,$ y $T \le 3,$ respectivamente.

Al probar $T = 3$ : las condiciones $T\ge1,$ $T\ge2,$ $T\le3$ se cumplen (afirmaciones uno, dos y cuatro) y $T\le2$ falla (afirmación tres). Exactamente $3$ afirmaciones son verdaderas, coincidiendo con $T = 3.$

Para $T=0,1,2,3,4,$ los números respectivos de condiciones verdaderas son $2,3,4,3,2,$ así que ningún otro valor es autoconsistente. Por lo tanto, exactamente una afirmación es falsa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $T$ be the number of true statements. The statements assert $T \ge 1,$ $T \ge 2,$ $T \le 2,$ and $T \le 3,$ respectively.

Testing $T = 3$ : the conditions $T\ge1,$ $T\ge2,$ $T\le3$ hold (statements one, two, four) and $T\le2$ fails (statement three). Exactly $3$ statements are true, matching $T = 3.$

For $T=0,1,2,3,4,$ the respective numbers of true conditions are $2,3,4,3,2,$ so no other value is self-consistent. Therefore exactly one statement is false.

Thus, the correct answer is B.

2025 AMC 12A Problema 4

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años