Question

Agnes escribe las siguientes cuatro afirmaciones en una hoja de papel en blanco.

• Al menos una de estas afirmaciones es verdadera.

• Al menos dos de estas afirmaciones son verdaderas.

• Al menos dos de estas afirmaciones son falsas.

• Al menos una de estas afirmaciones es falsa.

Cada afirmación es verdadera o falsa. ¿Cuántas afirmaciones falsas escribió Agnes en el papel?

Agnes writes the following four statements on a blank piece of paper.

• At least one of these statements is true.

• At least two of these statements are true.

• At least two of these statements are false.

• At least one of these statements is false.

Each statement is either true or false. How many false statements did Agnes write on the paper?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Sea $T$ el número de afirmaciones verdaderas. Las afirmaciones aseveran $T \ge 1,$ $T \ge 2,$ $T \le 2,$ y $T \le 3,$ respectivamente.

Al probar $T = 3$ : las condiciones $T\ge1,$ $T\ge2,$ $T\le3$ se cumplen (afirmaciones uno, dos y cuatro) y $T\le2$ falla (afirmación tres). Exactamente $3$ afirmaciones son verdaderas, coincidiendo con $T = 3.$

Ningún otro valor de $T$ es consistente, así que exactamente una afirmación es falsa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $T$ be the number of true statements. The statements assert $T \ge 1,$ $T \ge 2,$ $T \le 2,$ and $T \le 3,$ respectively.

Testing $T = 3$ : the conditions $T\ge1,$ $T\ge2,$ $T\le3$ hold (statements one, two, four) and $T\le2$ fails (statement three). Exactly $3$ statements are true, matching $T = 3.$

No other value of $T$ is consistent, so exactly one statement is false.

Thus, the correct answer is B.

2025 AMC 12A Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años