Question

Sea $n$ un entero positivo tal que $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n$ es un entero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera?

Let $n$ be a positive integer such that $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n$ is an integer. Which of the following statements is not true:

$2$ divide a $n$

$2$ divides $n$

$3$ divide a $n$

$3$ divides $n$

$6$ divide a $n$

$6$ divides $n$

$7$ divide a $n$

$7$ divides $n$

$n\gt84$

Solución:

Como $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42},$ la suma $\dfrac{41}{42}+\dfrac1n$ está estrictamente entre $0$ y $2,$ así que debe ser igual a $1.$ Entonces $\dfrac1n=\dfrac1{42},$ lo que da $n=42.$

Ahora bien, $2,$ $3,$ $6,$ y $7$ dividen todos a $42,$ pero $n\gt84$ es falso. La afirmación no verdadera es $n\gt84.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42},$ the sum $\dfrac{41}{42}+\dfrac1n$ lies strictly between $0$ and $2,$ so it must equal $1.$ Then $\dfrac1n=\dfrac1{42},$ giving $n=42.$

Now $2,$ $3,$ $6,$ and $7$ all divide $42,$ but $n\gt84$ is false. The untrue statement is $n\gt84.$

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años