Question

El mínimo común múltiplo de un entero positivo $n$ y $18$ es $180,$ y el máximo común divisor de $n$ y $45$ es $15.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

The least common multiple of a positive integer $n$ and $18$ is $180,$ and the greatest common divisor of $n$ and $45$ is $15.$ What is the sum of the digits of $n?$

$3$

$6$

$8$

$9$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Factoriza $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ y observa qué potencias debe aportar $n$ más allá de $18=2\cdot3^2$

Factor $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ and see which powers $n$ must supply beyond $18=2\cdot3^2$

Pista grande:

$\gcd(n,45)=15$ obliga a que haya exactamente un factor $3$ y al menos un factor $5$

$\gcd(n,45)=15$ forces exactly one factor of $3$ and at least one factor of $5$

Solución:

Como $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ y $18=2\cdot3^2,$ la condición $\operatorname{lcm}(n,18)=180$ obliga a que $n$ aporte $2^2$ y $5,$ con su potencia de $3$ a lo sumo $2.$

De $\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)$ $=15=3\cdot5,$ la potencia de $3$ en $n$ es exactamente $1$ y la potencia de $5$ es al menos $1.$

Por lo tanto $n=2^2\cdot3\cdot5=60,$ cuyos dígitos suman $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ and $18=2\cdot3^2,$ the condition $\operatorname{lcm}(n,18)=180$ forces $n$ to contribute $2^2$ and $5,$ with its power of $3$ at most $2.$

From $\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)$ $=15=3\cdot5,$ the power of $3$ in $n$ is exactly $1$ and the power of $5$ is at least $1.$

Therefore $n=2^2\cdot3\cdot5=60,$ whose digits sum to $6.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12A Problema 4

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años