Question

Un mes con $31$ días tiene el mismo número de lunes y miércoles. ¿Cuántos de los siete días de la semana podrían ser el primer día de este mes?

A month with $31$ days has the same number of Mondays and Wednesdays. How many of the seven days of the week could be the first day of this month?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

Como $31=4\cdot7+3,$ los primeros tres días del mes ocurren cinco veces cada uno, y los otros cuatro días ocurren cuatro veces.

Los lunes y los miércoles son iguales en número exactamente cuando ambos caen en el grupo de cinco veces o ambos caen en el grupo de cuatro veces.

Si el primer día es lunes, los días de cinco veces son lunes, martes y miércoles (ambos aparecen cinco veces). Si el primer día es jueves o viernes, los días de cinco veces no incluyen ni al lunes ni al miércoles (ambos aparecen cuatro veces). Cualquier otro día de inicio incluye exactamente uno de lunes o miércoles.

Así que el primer día puede ser lunes, jueves o viernes, dando $3$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $31=4\cdot7+3,$ the first three days of the month each occur five times, and the other four days occur four times.

Mondays and Wednesdays are equal in number exactly when both fall in the five-time group or both fall in the four-time group.

If the first day is Monday, the five-time days are Mon, Tue, Wed (both appear five times). If the first day is Thursday or Friday, the five-time days miss both Monday and Wednesday (both appear four times). Every other starting day includes exactly one of Monday or Wednesday.

So the first day can be Monday, Thursday, or Friday, giving $3$ possibilities.

Thus, the correct answer is B.

2010 AMC 12B Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años