Question

¿Para cuántos valores de la constante $k$ el polinomio $x^2 + kx + 36$ tiene dos raíces enteras distintas?

For how many values of the constant $k$ will the polynomial $x^2 + kx + 36$ have two distinct integer roots?

$6$

$8$

$9$

$14$

$16$

Solución:

Si las raíces son los enteros $p$ y $q,$ entonces $pq = 36$ y $k = -(p+q).$ Las raíces distintas deben tener el mismo signo, así que listamos los pares de factores de $36$ con $p \ne q.$

Los pares positivos son $(1,36), (2,18), (3,12), (4,9),$ y los pares negativos son $(-1,-36),$ $(-2,-18),$ $(-3,-12),$ $(-4,-9).$ El par $(6,6)$ se excluye porque las raíces deben ser distintas.

Cada uno de estos $8$ pares da un valor distinto de $k.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the roots are integers $p$ and $q,$ then $pq = 36$ and $k = -(p+q).$ Distinct roots must have the same sign, so we list factor pairs of $36$ with $p \ne q.$

The positive pairs are $(1,36), (2,18), (3,12), (4,9),$ and the negative pairs are $(-1,-36),$ $(-2,-18),$ $(-3,-12),$ $(-4,-9).$ The pair $(6,6)$ is excluded since the roots must be distinct.

Each of these $8$ pairs gives a different value of $k.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años