Question

En el círculo $O,$ los puntos $C$ y $D$ están en el mismo lado del diámetro $\overline{AB},$ $\angle AOC = 30^\circ,$ y $\angle DOB = 45^\circ.$ ¿Cuál es la razón entre el área del sector menor $COD$ y el área del círculo?

On circle $O,$ points $C$ and $D$ are on the same side of diameter $\overline{AB},$ $\angle AOC = 30^\circ,$ and $\angle DOB = 45^\circ.$ What is the ratio of the area of the smaller sector $COD$ to the area of the circle?

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{18}$

$\dfrac{7}{24}$

$\dfrac{3}{10}$

Solución:

Como $\angle AOC,$ $\angle COD,$ y $\angle DOB$ llenan el ángulo llano sobre el diámetro $\overline{AB},$ $\begin{aligned} \angle COD &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ. \end{aligned}$

La parte del círculo que ocupa el sector es $\dfrac{105^\circ}{360^\circ} = \dfrac{7}{24}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $\angle AOC,$ $\angle COD,$ and $\angle DOB$ fill the straight angle over diameter $\overline{AB},$ $\begin{aligned} \angle COD &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ. \end{aligned}$

The sector's share of the circle is $\dfrac{105^\circ}{360^\circ} = \dfrac{7}{24}.$

Thus, the correct answer is D.

2008 AMC 12B Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años