Question

El número de seis dígitos $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ es primo para un solo dígito $A.$ ¿Cuánto vale $A$ ?

The six-digit number $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ is prime for only one digit $A.$ What is $A?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Solución:

El número es $202100 + A.$ Cualquier $A$ par lo hace par, y $A = 5$ lo hace divisible entre $5,$ así que $A$ debe ser impar y distinto de $5.$

Para $A = 1$ la suma de dígitos es $6$ (divisible entre $3$ ); para $A = 7$ la suma de dígitos es $12$ (divisible entre $3$ ); y $202103 = 11 \cdot 18373.$ Solo $202109$ supera todas las pruebas, y es primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The number is $202100 + A.$ Any even $A$ makes it even, and $A = 5$ makes it divisible by $5,$ so $A$ must be odd and not $5.$

For $A = 1$ the digit sum is $6$ (divisible by $3$ ); for $A = 7$ the digit sum is $12$ (divisible by $3$ ); and $202103 = 11 \cdot 18373.$ Only $202109$ survives all tests, and it is prime.

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años