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1983 AMC 12 Problema 4

Intenta el Problema 4 del 1983 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1983 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

4.

En la figura plana adjunta, los lados AFAF y CDCD son paralelos, al igual que los lados ABAB y FE,FE, y los lados BCBC y ED.ED. Cada lado tiene longitud 1.1. Además, ∠FAB=∠BCD=60∘.\angle FAB=\angle BCD=60^\circ. El área de la figura es

In the adjoining plane figure, sides AFAF and CDCD are parallel, as are sides ABAB and FE,FE, and sides BCBC and ED.ED. Each side has length 1.1. Also, ∠FAB=∠BCD=60∘.\angle FAB=\angle BCD=60^\circ. The area of the figure is

32\frac{\sqrt3}{2}

11

32\frac32

3\sqrt3

22

Respuesta: D
Conceptos:áreadescomposición de áreastriángulo equilátero
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:

Coloca AFAF y CDCD verticalmente y usa los ángulos de 60∘60^\circ para asignar coordenadas

Place AFAF and CDCD vertically and use the 60∘60^\circ angles to assign coordinates

Pista grande:

Los seis vértices pueden escribirse usando cambios horizontales de 32\frac{\sqrt3}{2}

The six vertices can be written using horizontal changes of 32\frac{\sqrt3}{2}

Solución:

Las direcciones paralelas y los ángulos de 60∘60^\circ sitúan los vértices, salvo un movimiento rígido, en A=(0,0),B=(32,−12),C=(3,0),D=(3,−1),E=(32,−32),F=(0,−1). \begin{aligned} A&=(0,0),\\ B&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12),\\ C&=(\sqrt3,0),\\ D&=(\sqrt3,-1),\\ E&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac32),\\ F&=(0,-1). \end{aligned} Al aplicar la fórmula del cordón a estos seis vértices se obtiene el área 3.\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The parallel directions and 60∘60^\circ angles place the vertices, up to rigid motion, at A=(0,0),B=(32,−12),C=(3,0),D=(3,−1),E=(32,−32),F=(0,−1). \begin{aligned} A&=(0,0),\\ B&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12),\\ C&=(\sqrt3,0),\\ D&=(\sqrt3,-1),\\ E&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac32),\\ F&=(0,-1). \end{aligned} Applying the shoelace formula to these six vertices gives area 3.\sqrt3.

Therefore, the correct answer is D.

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