Question

Sea una progresión geométrica de $n$ términos con primer término uno, razón común $r$ y suma $s,$ donde $r$ y $s$ no son cero. La suma de la progresión geométrica que se obtiene al reemplazar cada término por su recíproco es

Let a geometric progression with $n$ terms have first term one, common ratio $r$ and sum $s,$ where $r$ and $s$ are not zero. The sum of the geometric progression formed by replacing each term of the original progression by its reciprocal is

$\frac1s$

$\frac1{r^ns}$

$\frac{s}{r^{n-1}}$

$\frac{r^n}{s}$

$\frac{r^{n-1}}s$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica factorización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Escribe la suma de los recíprocos como $1+r^{-1}+\cdots+r^{-(n-1)}$

Write the reciprocal sum as $1+r^{-1}+\cdots+r^{-(n-1)}$

Pista grande:

Invierte el orden de las potencias y extrae el factor $r^{-(n-1)}$

Factor $r^{-(n-1)}$ after reversing the order of the powers

Solución:

Sea $S'$ la suma de los recíprocos. Al multiplicarla por $r^{n-1}$ , se invierte el orden de los términos originales: $\begin{aligned} r^{n-1}S' &=r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+1\\ &=s. \end{aligned}$ Por tanto, $S'=\frac{s}{r^{n-1}}.$ Esto también se cumple cuando $r=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $S'$ be the reciprocal sum. Multiplying it by $r^{n-1}$ reverses the original terms: $\begin{aligned} r^{n-1}S' &=r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+1\\ &=s. \end{aligned}$ Hence $S'=\frac{s}{r^{n-1}}.$ This also holds when $r=1.$

Therefore, the correct answer is C.

1976 AMC 12 Problema 4

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años