2010 AMC 12A Problema 4

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 4 del 2010 AMC 12A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Nivel de dificultad: 1070

Si $x\lt0,$ ¿cuál de las siguientes opciones debe ser positiva?

If $x\lt0,$ then which of the following must be positive?

$\dfrac{x}{|x|}$

$-x^2$

$-2^x$

$-x^{-1}$

$\sqrt[3]{x}$

La opción (D) es $-x^{-1}=-\dfrac1x.$ Cuando $x\lt0,$ $\dfrac1x\lt0,$ así que $-\dfrac1x\gt0.$

Al probar $x=-1$ se ve que las otras opciones no tienen por qué ser positivas: $\dfrac{x}{|x|}=-1,$ $-x^2=-1,$ $-2^x=-\tfrac12,$ y $\sqrt[3]{x}=-1.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Choice (D) is $-x^{-1}=-\dfrac1x.$ When $x\lt0,$ $\dfrac1x\lt0,$ so $-\dfrac1x\gt0.$

Testing $x=-1$ shows the other choices need not be positive: $\dfrac{x}{|x|}=-1,$ $-x^2=-1,$ $-2^x=-\tfrac12,$ and $\sqrt[3]{x}=-1.$

Thus, D is the correct answer.