Question

Si $x\lt0,$ ¿cuál de las siguientes opciones debe ser positiva?

If $x\lt0,$ then which of the following must be positive?

$\dfrac{x}{|x|}$

$-x^2$

$-2^x$

$-x^{-1}$

$\sqrt[3]{x}$

Prueba cada opción con un valor negativo como $x=-1$ .

Test each choice with a negative value such as $x=-1$

Reescribe $-x^{-1}$ como $-\dfrac1x;$ el recíproco de un número negativo es negativo, así que su opuesto es positivo.

Rewrite $-x^{-1}$ as $-\dfrac1x;$ dividing into a negative number flips the sign

La opción (D) es $-x^{-1}=-\dfrac1x.$ Cuando $x\lt0,$ $\dfrac1x\lt0,$ así que $-\dfrac1x\gt0.$

Al probar $x=-1$ se ve que las otras opciones no tienen por qué ser positivas: $\dfrac{x}{|x|}=-1,$ $-x^2=-1,$ $-2^x=-\tfrac12,$ y $\sqrt[3]{x}=-1.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Choice (D) is $-x^{-1}=-\dfrac1x.$ When $x\lt0,$ $\dfrac1x\lt0,$ so $-\dfrac1x\gt0.$

Testing $x=-1$ shows the other choices need not be positive: $\dfrac{x}{|x|}=-1,$ $-x^2=-1,$ $-2^x=-\tfrac12,$ and $\sqrt[3]{x}=-1.$

Thus, D is the correct answer.