Question

El rectángulo $ABCD,$ mostrado abajo, comparte $50\%$ de su área con el cuadrado $EFGH.$ El cuadrado $EFGH$ comparte $20\%$ de su área con el rectángulo $ABCD.$ ¿Cuánto vale $\dfrac{AB}{AD}$ ?

Rectangle $ABCD,$ pictured below, shares $50\%$ of its area with square $EFGH.$ Square $EFGH$ shares $20\%$ of its area with rectangle $ABCD.$ What is $\dfrac{AB}{AD}?$

$4$

$5$

$6$

$8$

$10$

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del cuadrado $EFGH.$ El traslape sombreado tiene ancho $s$ y altura $AD,$ así que su área es $s\cdot AD.$

Como el traslape es el $50\%$ del rectángulo, $s\cdot AD=\tfrac12\,AB\cdot AD,$ así que $AB=2s.$ Como es el $20\%$ del cuadrado, $s\cdot AD=\tfrac15 s^2,$ así que $AD=\tfrac{s}{5}.$

Por lo tanto $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{2s}{s/5}=10.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $s$ be the side length of square $EFGH.$ The shaded overlap has width $s$ and height $AD,$ so its area is $s\cdot AD.$

Because the overlap is $50\%$ of the rectangle, $s\cdot AD=\tfrac12\,AB\cdot AD,$ so $AB=2s.$ Because it is $20\%$ of the square, $s\cdot AD=\tfrac15 s^2,$ so $AD=\tfrac{s}{5}.$

Therefore $\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{2s}{s/5}=10.$

Thus, E is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años