Question

Supongamos que $2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+x}}}=\dfrac{144}{53}.$

¿Cuál es el valor de $x$ ?

Suppose $2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+x}}}=\dfrac{144}{53}.$

What is the value of $x?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{14}{15}$

$\dfrac{37}{38}$

$\dfrac{52}{53}$

Quita una capa a la vez, empezando por restar $2$ a $\dfrac{144}{53}$

Peel off one layer at a time, starting by subtracting $2$ from $\dfrac{144}{53}$

Después de $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},$ toma recíprocos y continúa hacia adentro

After $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},$ take reciprocals and continue inward

Trabajando de afuera hacia adentro, $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},$ así que la fracción interior vale $\dfrac{38}{53}.$

Su recíproco da $1+\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{53}{38},$ así que $\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{15}{38}.$

Entonces $2+\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{38}{15},$ así que $\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{8}{15},$ lo que da $3+x=\dfrac{15}{4}.$

Por lo tanto $x=\dfrac{15}{4}-3=\dfrac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Working from the outside in, $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},$ so the inner fraction equals $\dfrac{38}{53}.$

Its reciprocal gives $1+\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{53}{38},$ so $\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{15}{38}.$

Then $2+\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{38}{15},$ so $\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{8}{15},$ giving $3+x=\dfrac{15}{4}.$

Therefore $x=\dfrac{15}{4}-3=\dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is A.