Question

La conjetura fuerte de Goldbach afirma que todo entero par mayor que $7$ puede escribirse como suma de dos números primos distintos. Entre tales representaciones del número par $126,$ la mayor diferencia posible entre los dos primos es

Nota: La conjetura usual de Goldbach afirma que todo entero par mayor que $3$ puede expresarse como suma de dos primos. Ni esta conjetura ni su versión fuerte han sido resueltas.

The stronger Goldbach conjecture states that any even integer greater than $7$ can be written as the sum of two different prime numbers. For such representations of the even number $126,$ the largest possible difference between the two primes is

Note: The regular Goldbach conjecture states that any even integer greater than $3$ is expressible as a sum of two primes. Neither this conjecture nor the stronger version has been settled.

$112$

$100$

$92$

$88$

$80$

Respuesta: B

Conceptos:primo optimización enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Para una suma fija, maximiza la diferencia minimizando el primo menor

For a fixed sum, maximize the difference by minimizing the smaller prime

Pista grande:

Prueba los primos $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $\ldots$ hasta que su complemento respecto de $126$ sea primo

Test the primes $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $\ldots$ until the complement to $126$ is prime

Solución:

Para primos $p\lt q$ con $p+q=126,$ la diferencia $q-p=126-2p$ es máxima cuando $p$ es lo menor posible. Los complementos de $3,$ $5,$ $7,$ y $11$ son $123,$ $121,$ $119,$ y $115,$ ninguno de los cuales es primo. Para $p=13,$ el complemento es $113,$ que sí es primo. Así, la mayor diferencia es $113-13=100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For primes $p\lt q$ with $p+q=126,$ the difference $q-p=126-2p$ is largest when $p$ is as small as possible. The complements of $3,$ $5,$ $7,$ and $11$ are $123,$ $121,$ $119,$ and $115,$ none prime. For $p=13,$ the complement is $113,$ which is prime. Thus the largest difference is $113-13=100.$

Therefore, the correct answer is B.

1973 AMC 12 Problema 3

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años