Question

¿Cuántas de las siguientes expresiones son iguales a $x^x+x^x$ para todo $x\gt0$ ? $\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad&2x^x\\ \mathrm{II:}\quad&x^{2x}\\ \mathrm{III:}\quad&(2x)^x\\ \mathrm{IV:}\quad&(2x)^{2x} \end{aligned}$

How many of the following are equal to $x^x+x^x$ for all $x\gt0?$ $\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad&2x^x\\ \mathrm{II:}\quad&x^{2x}\\ \mathrm{III:}\quad&(2x)^x\\ \mathrm{IV:}\quad&(2x)^{2x} \end{aligned}$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: B

Conceptos:exponential expressions identities

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Primero combina los dos términos idénticos

First combine the two identical terms

Pista grande:

Comprueba si cambiar la base o el exponente conserva $2x^x$ para todo $x$

Test whether changing the base or exponent preserves $2x^x$ for every $x$

Solución:

La suma dada es $2x^x,$ por lo que la expresión I siempre es igual a ella. La expresión II falla cuando $x=1,$ pues su valor es $1$ en vez de $2.$ La expresión III falla cuando $x=2,$ pues su valor es $16$ en vez de $8.$ La expresión IV falla cuando $x=1,$ pues su valor es $4$ en vez de $2.$ Por consiguiente, solo una expresión funciona. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The given sum is $2x^x,$ so expression I is always equal to it. Expression II fails at $x=1,$ where its value is $1$ instead of $2.$ Expression III fails at $x=2,$ where its value is $16$ instead of $8.$ Expression IV fails at $x=1,$ where its value is $4$ instead of $2.$ Hence only one expression works. Thus the correct answer is B.

1994 AMC 12 Problema 3

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años