Question

El punto $O$ es el centro de la circunferencia circunscrita al $\triangle ABC,$ con $\angle BOC=120^\circ$ y $\angle AOB=140^\circ,$ como se muestra. ¿Cuál es la medida en grados de $\angle ABC$ ?

The point $O$ is the center of the circle circumscribed about $\triangle ABC,$ with $\angle BOC=120^\circ$ and $\angle AOB=140^\circ,$ as shown. What is the degree measure of $\angle ABC?$

$35$

$40$

$45$

$50$

$60$

Solución:

Los ángulos alrededor de $O$ suman $360^\circ,$ así que $\begin{aligned} \angle AOC&=360^\circ-140^\circ-120^\circ \\ &=100^\circ. \end{aligned}$

Por el teorema del ángulo inscrito, $\angle ABC$ subtiende el mismo arco $AC$ que el ángulo central $\angle AOC,$ así que $\angle ABC=\tfrac12\angle AOC=50^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The angles around $O$ sum to $360^\circ,$ so $\begin{aligned} \angle AOC&=360^\circ-140^\circ-120^\circ \\ &=100^\circ. \end{aligned}$

By the inscribed angle theorem, $\angle ABC$ subtends the same arc $AC$ as the central angle $\angle AOC,$ so $\angle ABC=\tfrac12\angle AOC=50^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12B Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años