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Problemas del 2007 AMC 12B

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1.

La casa de Isabella tiene 33 dormitorios. Cada dormitorio mide 1212 pies de largo, 1010 pies de ancho y 88 pies de alto. Isabella debe pintar las paredes de todos los dormitorios. Las puertas y ventanas, que no se pintarán, ocupan 6060 pies cuadrados en cada dormitorio. ¿Cuántos pies cuadrados de pared debe pintar?
Isabella’s house has 33 bedrooms. Each bedroom is 1212 feet long, 1010 feet wide, and 88 feet high. Isabella must paint the walls of all the bedrooms. Doorways and windows, which will not be painted, occupy 6060 square feet in each bedroom. How many square feet of walls must be painted?
678678
768768
786786
867867
876876
Respuesta: E
Conceptos:perímetroárea
Nivel de dificultad: 900
Pista pequeña:
Las cuatro paredes de una habitación forman una franja de altura 88 que rodea el suelo.
The four walls of a room form a band of height 88 wrapping around the floor
Pista grande:
El área pintada por habitación es (perímetro del suelo)×\times(altura)−60-60.
The painted area per room is (floor perimeter)×\times(height)−60-60
Solución:
El perímetro del suelo de cada dormitorio es 2(12+10)=442(12+10)=44 pies.
Así que el área de pared de un dormitorio es 44⋅8−60=352−60=29244\cdot8-60=352-60=292 pies cuadrados. En los tres dormitorios, Isabella pinta 3⋅292=8763\cdot292=876 pies cuadrados.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The perimeter of each bedroom floor is 2(12+10)=442(12+10)=44 feet.
So the wall area in one bedroom is 44⋅8−60=352−60=29244\cdot8-60=352-60=292 square feet. Across all three bedrooms, Isabella paints 3⋅292=8763\cdot292=876 square feet.
Thus, the correct answer is E.

2.

Un estudiante universitario condujo su auto compacto 120120 millas hasta su casa para el fin de semana y promedió 3030 millas por galón. En el viaje de regreso condujo la camioneta SUV de sus padres y promedió solo 2020 millas por galón. ¿Cuál fue el consumo promedio de gasolina, en millas por galón, para el viaje de ida y vuelta?
A college student drove his compact car 120120 miles home for the weekend and averaged 3030 miles per gallon. On the return trip the student drove his parents’ SUV and averaged only 2020 miles per gallon. What was the average gas mileage, in miles per gallon, for the round trip?
2222
2424
2525
2626
2828
Respuesta: B
Conceptos:distancia, velocidad y tiempomedia armónica
Nivel de dificultad: 990
Pista pequeña:
El consumo promedio es el total de millas dividido por el total de galones, no el promedio de las dos tasas.
Average mileage is total miles divided by total gallons, not the average of the two rates
Pista grande:
El auto usa 12030\frac{120}{30} galones y la SUV usa 12020\frac{120}{20} galones.
The car uses 12030\frac{120}{30} gallons and the SUV uses 12020\frac{120}{20} gallons
Solución:
El viaje de ida usa 12030=4\frac{120}{30}=4 galones, y el viaje de regreso usa 12020=6\frac{120}{20}=6 galones.
El viaje de ida y vuelta recorre 240240 millas con 1010 galones, así que el promedio es 24010=24. \dfrac{240}{10}=24.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The trip home uses 12030=4\frac{120}{30}=4 gallons, and the return trip uses 12020=6\frac{120}{20}=6 gallons.
The round trip covers 240240 miles on 1010 gallons, so the average is 24010=24. \dfrac{240}{10}=24.
Thus, the correct answer is B.

3.

El punto OO es el centro de la circunferencia circunscrita al △ABC,\triangle ABC, con ∠BOC=120∘\angle BOC=120^\circ y ∠AOB=140∘,\angle AOB=140^\circ, como se muestra. ¿Cuál es la medida en grados de ∠ABC\angle ABC?
The point OO is the center of the circle circumscribed about △ABC,\triangle ABC, with ∠BOC=120∘\angle BOC=120^\circ and ∠AOB=140∘,\angle AOB=140^\circ, as shown. What is the degree measure of ∠ABC?\angle ABC?
3535
4040
4545
5050
6060
Respuesta: D
Conceptos:ángulo inscritosuma de ángulos
Nivel de dificultad: 1190
Pista pequeña:
Los tres ángulos centrales en OO suman 360∘360^\circ.
The three central angles at OO add up to 360∘360^\circ
Pista grande:
El ángulo inscrito ∠ABC\angle ABC es la mitad del ángulo central ∠AOC\angle AOC.
The inscribed angle ∠ABC\angle ABC is half of the central angle ∠AOC\angle AOC
Solución:
Los ángulos alrededor de OO suman 360∘,360^\circ, así que ∠AOC=360∘−140∘−120∘=100∘. \begin{aligned} \angle AOC&=360^\circ-140^\circ-120^\circ \\ &=100^\circ. \end{aligned}
Por el teorema del ángulo inscrito, ∠ABC\angle ABC subtiende el mismo arco ACAC que el ángulo central ∠AOC,\angle AOC, así que ∠ABC=12∠AOC=50∘. \angle ABC=\tfrac12\angle AOC=50^\circ.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The angles around OO sum to 360∘,360^\circ, so ∠AOC=360∘−140∘−120∘=100∘. \begin{aligned} \angle AOC&=360^\circ-140^\circ-120^\circ \\ &=100^\circ. \end{aligned}
By the inscribed angle theorem, ∠ABC\angle ABC subtends the same arc ACAC as the central angle ∠AOC,\angle AOC, so ∠ABC=12∠AOC=50∘. \angle ABC=\tfrac12\angle AOC=50^\circ.
Thus, the correct answer is D.

4.

En el Mercado de Frutas de Frank, 33 plátanos cuestan lo mismo que 22 manzanas, y 66 manzanas cuestan lo mismo que 44 naranjas. ¿Cuántas naranjas cuestan lo mismo que 1818 plátanos?
At Frank’s Fruit Market, 33 bananas cost as much as 22 apples, and 66 apples cost as much as 44 oranges. How many oranges cost as much as 1818 bananas?
66
88
99
1212
1818
Respuesta: B
Conceptos:razón y proporciónconversión de unidades
Nivel de dificultad: 1010
Pista pequeña:
Primero convierte 1818 plátanos en un número equivalente de manzanas.
First convert 1818 bananas into an equivalent number of apples
Pista grande:
Luego convierte esas manzanas en naranjas usando 66 manzanas =4=4 naranjas.
Then convert those apples into oranges using 66 apples =4=4 oranges
Solución:
Como 33 plátanos cuestan lo mismo que 22 manzanas, 1818 plátanos cuestan lo mismo que 1212 manzanas.
Como 66 manzanas cuestan lo mismo que 44 naranjas, 1212 manzanas cuestan lo mismo que 88 naranjas. Por lo tanto, 1818 plátanos cuestan lo mismo que 88 naranjas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since 33 bananas cost as much as 22 apples, 1818 bananas cost as much as 1212 apples.
Since 66 apples cost as much as 44 oranges, 1212 apples cost as much as 88 oranges. Therefore 1818 bananas cost as much as 88 oranges.
Thus, the correct answer is B.

5.

Los concursos AMC 1212 de 20072007 se calificarán otorgando 66 puntos por cada respuesta correcta, 00 puntos por cada respuesta incorrecta y 1.51.5 puntos por cada problema dejado sin responder. Tras revisar los 2525 problemas, Sarah ha decidido intentar los primeros 2222 y dejar los últimos 33 sin responder. ¿Cuántos de los primeros 2222 problemas debe resolver correctamente para obtener al menos 100100 puntos?
The 20072007 AMC 1212 contests will be scored by awarding 66 points for each correct response, 00 points for each incorrect response, and 1.51.5 points for each problem left unanswered. After looking over the 2525 problems, Sarah has decided to attempt the first 2222 and leave the last 33 unanswered. How many of the first 2222 problems must she solve correctly in order to score at least 100100 points?
1313
1414
1515
1616
1717
Respuesta: D
Conceptos:desigualdad
Nivel de dificultad: 1120
Pista pequeña:
Los 33 problemas sin responder ya aportan 3⋅1.53\cdot1.5 puntos.
The 33 unanswered problems already contribute 3⋅1.53\cdot1.5 points
Pista grande:
Resuelve 6x≥100−4.56x\ge100-4.5 y redondea hacia arriba el número de aciertos xx a un entero.
Solve 6x≥100−4.56x\ge100-4.5 and round the number correct xx up to a whole number
Solución:
Los tres problemas sin responder dan 3⋅1.5=4.53\cdot1.5=4.5 puntos.
Así que Sarah necesita al menos 100−4.5=95.5100-4.5=95.5 puntos de las respuestas correctas. Como 15<95.56<16, 15\lt\dfrac{95.5}{6}\lt16, debe resolver correctamente al menos 1616 problemas, lo que le daría 16⋅6+4.5=100.516\cdot6+4.5=100.5 puntos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The three unanswered problems give 3⋅1.5=4.53\cdot1.5=4.5 points.
So Sarah needs at least 100−4.5=95.5100-4.5=95.5 points from correct answers. Since 15<95.56<16, 15\lt\dfrac{95.5}{6}\lt16, she must solve at least 1616 problems correctly, which would give her 16⋅6+4.5=100.516\cdot6+4.5=100.5 points.
Thus, the correct answer is D.

6.

El triángulo ABCABC tiene lados de longitud AB=5,AB=5, BC=6,BC=6, y AC=7.AC=7. Dos insectos parten simultáneamente desde AA y se arrastran a lo largo de los lados del triángulo en direcciones opuestas a la misma velocidad. Se encuentran en el punto D.D. ¿Cuánto vale BDBD?
Triangle ABCABC has side lengths AB=5,AB=5, BC=6,BC=6, and AC=7.AC=7. Two bugs start simultaneously from AA and crawl along the sides of the triangle in opposite directions at the same speed. They meet at point D.D. What is BD?BD?
11
22
33
44
55
Respuesta: D
Conceptos:velocidad relativaperímetro
Nivel de dificultad: 1080
Pista pequeña:
Juntos los dos insectos recorren todo el perímetro, así que cada uno se arrastra la mitad.
Together the two bugs cover the whole perimeter, so each crawls half of it
Pista grande:
Un insecto recorre A→B→D,A\to B\to D, una distancia de AB+BDAB+BD.
One bug travels A→B→D,A\to B\to D, a distance of AB+BDAB+BD
Solución:
El perímetro es 5+6+7=18,5+6+7=18, así que cada insecto se arrastra 99 antes de encontrarse.
El insecto que va A→B→CA\to B\to C llega a DD sobre el lado BC,BC, habiendo recorrido AB+BD=9.AB+BD=9. Como AB=5,AB=5, obtenemos BD=4.BD=4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The perimeter is 5+6+7=18,5+6+7=18, so each bug crawls 99 before they meet.
The bug going A→B→CA\to B\to C reaches DD on side BC,BC, having traveled AB+BD=9.AB+BD=9. Since AB=5,AB=5, we get BD=4.BD=4.
Thus, the correct answer is D.

7.

Todos los lados del pentágono convexo ABCDEABCDE tienen la misma longitud, y ∠A=∠B=90∘.\angle A=\angle B=90^\circ. ¿Cuál es la medida en grados de ∠E\angle E?
All sides of the convex pentagon ABCDEABCDE are of equal length, and ∠A=∠B=90∘.\angle A=\angle B=90^\circ. What is the degree measure of ∠E?\angle E?
9090
108108
120120
144144
150150
Respuesta: E
Conceptos:triángulo equiláterocuadrado (geometría)suma de ángulos
Nivel de dificultad: 1330
Pista pequeña:
Los lados AB,BC,EAAB,BC,EA y los dos ángulos rectos hacen que ABCEABCE sea un cuadrado.
The sides AB,BC,EAAB,BC,EA and the two right angles make ABCEABCE a square
Pista grande:
Entonces △CDE\triangle CDE es equilátero, y ∠E=∠AEC+∠CED\angle E=\angle AEC+\angle CED.
Then △CDE\triangle CDE is equilateral, and ∠E=∠AEC+∠CED\angle E=\angle AEC+\angle CED
Solución:
Como AB=BC=EAAB=BC=EA y ∠A=∠B=90∘,\angle A=\angle B=90^\circ, el cuadrilátero ABCEABCE es un cuadrado, así que ∠AEC=90∘\angle AEC=90^\circ y ECEC es igual a la longitud del lado común.
Entonces CD=DE=EC,CD=DE=EC, así que △CDE\triangle CDE es equilátero y ∠CED=60∘.\angle CED=60^\circ. Por lo tanto, ∠E=∠AEC+∠CED=90∘+60∘=150∘. \begin{aligned} \angle E&=\angle AEC+\angle CED \\ &=90^\circ+60^\circ \\ &=150^\circ. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Because AB=BC=EAAB=BC=EA and ∠A=∠B=90∘,\angle A=\angle B=90^\circ, quadrilateral ABCEABCE is a square, so ∠AEC=90∘\angle AEC=90^\circ and ECEC equals the common side length.
Then CD=DE=EC,CD=DE=EC, so △CDE\triangle CDE is equilateral and ∠CED=60∘.\angle CED=60^\circ. Therefore ∠E=∠AEC+∠CED=90∘+60∘=150∘. \begin{aligned} \angle E&=\angle AEC+\angle CED \\ &=90^\circ+60^\circ \\ &=150^\circ. \end{aligned}
Thus, the correct answer is E.

8.

La edad de Tom es de TT años, que es también la suma de las edades de sus tres hijos. Su edad hace NN años era el doble de la suma de las edades de ellos en ese momento. ¿Cuánto vale TN\frac{T}{N}?
Tom’s age is TT years, which is also the sum of the ages of his three children. His age NN years ago was twice the sum of their ages then. What is TN?\frac{T}{N}?
22
33
44
55
66
Respuesta: D
Conceptos:edadesecuación lineal
Nivel de dificultad: 1290
Pista pequeña:
Hace NN años Tom tenía T−N;T-N; cada hijo era NN años más joven.
NN years ago Tom was T−N;T-N; each child was NN years younger
Pista grande:
Los hijos sumaban entonces T−3N;T-3N; plantea T−N=2(T−3N)T-N=2(T-3N).
The children then totaled T−3N;T-3N; set T−N=2(T−3N)T-N=2(T-3N)
Solución:
La edad de Tom hace NN años era T−N.T-N. Sus tres hijos eran cada uno NN años más jóvenes, así que sus edades entonces sumaban T−3N.T-3N.
La condición da T−N=2(T−3N), T-N=2(T-3N), así que 5N=T5N=T y TN=5.\frac{T}{N}=5.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Tom’s age NN years ago was T−N.T-N. His three children were each NN years younger, so their ages then totaled T−3N.T-3N.
The condition gives T−N=2(T−3N), T-N=2(T-3N), so 5N=T5N=T and TN=5.\frac{T}{N}=5.
Thus, the correct answer is D.

9.

Una función ff tiene la propiedad de que f(3x−1)=x2+x+1f(3x-1)=x^2+x+1 para todos los números reales x.x. ¿Cuánto vale f(5)f(5)?
A function ff has the property that f(3x−1)=x2+x+1f(3x-1)=x^2+x+1 for all real numbers x.x. What is f(5)?f(5)?
77
1313
3131
111111
211211
Respuesta: A
Conceptos:funciónsustitución
Nivel de dificultad: 1200
Pista pequeña:
Elige xx de modo que 3x−1=53x-1=5.
Pick xx so that 3x−1=53x-1=5
Pista grande:
Con ese x,x, calcula x2+x+1x^2+x+1.
With that x,x, compute x2+x+1x^2+x+1
Solución:
Al plantear 3x−1=53x-1=5 se obtiene x=2.x=2.
Entonces f(5)=22+2+1=7. f(5)=2^2+2+1=7.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Setting 3x−1=53x-1=5 gives x=2.x=2.
Then f(5)=22+2+1=7. f(5)=2^2+2+1=7.
Thus, the correct answer is A.

10.

Unos niños y niñas están haciendo un lavado de autos para recaudar dinero para un viaje de clase a China. Inicialmente 40%40\% del grupo son niñas. Poco después dos niñas se van y dos niños llegan, y entonces 30%30\% del grupo son niñas. ¿Cuántas niñas había inicialmente en el grupo?
Some boys and girls are having a car wash to raise money for a class trip to China. Initially 40%40\% of the group are girls. Shortly thereafter two girls leave and two boys arrive, and then 30%30\% of the group are girls. How many girls were initially in the group?
44
66
88
1010
1212
Respuesta: C
Conceptos:porcentajeinvariante
Nivel de dificultad: 1330
Pista pequeña:
Dos se van y dos llegan, así que el tamaño del grupo se mantiene igual.
Two leave and two arrive, so the group size stays the same
Pista grande:
Las dos niñas que se van representan el 40%−30%=10%40\%-30\%=10\% del grupo.
The two departing girls represent 40%−30%=10%40\%-30\%=10\% of the group
Solución:
Como dos niñas se van mientras dos niños llegan, el tamaño total del grupo no cambia. La caída del 40%40\% al 30%30\% de niñas corresponde a las dos niñas que se fueron.
Así que esas dos niñas son el 10%10\% del grupo, lo que significa que el grupo tiene 2020 personas. El número inicial de niñas era el 40%40\% de 20,20, es decir, 8.8.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since two girls leave while two boys arrive, the total group size is unchanged. The drop from 40%40\% to 30%30\% girls corresponds to the two girls who left.
So those two girls are 10%10\% of the group, meaning the group has 2020 people. The initial number of girls was 40%40\% of 20,20, or 8.8.
Thus, the correct answer is C.

11.

Los ángulos del cuadrilátero ABCDABCD satisfacen ∠A=2∠B=3∠C=4∠D.\angle A=2\angle B=3\angle C=4\angle D. ¿Cuál es la medida en grados de ∠A,\angle A, redondeada al entero más cercano?
The angles of quadrilateral ABCDABCD satisfy ∠A=2∠B=3∠C=4∠D.\angle A=2\angle B=3\angle C=4\angle D. What is the degree measure of ∠A,\angle A, rounded to the nearest whole number?
125125
144144
153153
173173
180180
Respuesta: D
Conceptos:suma de ángulosrazón y proporción
Nivel de dificultad: 1270
Pista pequeña:
Sea x=∠A;x=\angle A; entonces ∠B=x2,\angle B=\tfrac x2, ∠C=x3,\angle C=\tfrac x3, ∠D=x4\angle D=\tfrac x4.
Let x=∠A;x=\angle A; then ∠B=x2,\angle B=\tfrac x2, ∠C=x3,\angle C=\tfrac x3, ∠D=x4\angle D=\tfrac x4
Pista grande:
Los cuatro ángulos de un cuadrilátero suman 360∘360^\circ.
The four angles of a quadrilateral sum to 360∘360^\circ
Solución:
Sea x=∠A.x=\angle A. Entonces ∠B=x2,\angle B=\tfrac x2, ∠C=x3\angle C=\tfrac x3 y ∠D=x4.\angle D=\tfrac x4.
La suma de los ángulos da x+x2+x3+x4=25x12=360, x+\dfrac x2+\dfrac x3+\dfrac x4=\dfrac{25x}{12}=360, así que x=12⋅36025=172.8≈173.x=\dfrac{12\cdot360}{25}=172.8\approx173.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let x=∠A.x=\angle A. Then ∠B=x2,\angle B=\tfrac x2, ∠C=x3,\angle C=\tfrac x3, and ∠D=x4.\angle D=\tfrac x4.
The angle sum gives x+x2+x3+x4=25x12=360, x+\dfrac x2+\dfrac x3+\dfrac x4=\dfrac{25x}{12}=360, so x=12⋅36025=172.8≈173.x=\dfrac{12\cdot360}{25}=172.8\approx173.
Thus, the correct answer is D.

12.

Un profesor dio una prueba a una clase en la que 10%10\% de los estudiantes son de tercer año y 90%90\% son de cuarto año. La puntuación promedio en la prueba fue 84.84. Los de tercer año obtuvieron todos la misma puntuación, y la puntuación promedio de los de cuarto año fue 83.83. ¿Qué puntuación obtuvo cada uno de los de tercer año en la prueba?
A teacher gave a test to a class in which 10%10\% of the students are juniors and 90%90\% are seniors. The average score on the test was 84.84. The juniors all received the same score, and the average score of the seniors was 83.83. What score did each of the juniors receive on the test?
8585
8888
9393
9494
9898
Respuesta: C
Conceptos:mediaporcentaje
Nivel de dificultad: 1330
Pista pequeña:
Supón una clase conveniente de 1010 estudiantes: 11 de tercer año y 99 de cuarto año.
Assume a convenient class of 1010 students: 11 junior and 99 seniors
Pista grande:
El total de puntos debe satisfacer 10⋅84=9⋅83+s10\cdot84=9\cdot83+s.
Total points must satisfy 10⋅84=9⋅83+s10\cdot84=9\cdot83+s
Solución:
Toma una clase de 1010 estudiantes, así que hay 11 de tercer año y 99 de cuarto año.
El total de todas las puntuaciones es 10⋅84=840,10\cdot84=840, y los de cuarto año aportan 9⋅83=747.9\cdot83=747. Así que el de tercer año obtuvo 840−747=93. 840-747=93.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Take a class of 1010 students, so there is 11 junior and 99 seniors.
The total of all scores is 10⋅84=840,10\cdot84=840, and the seniors contribute 9⋅83=747.9\cdot83=747. So the junior scored 840−747=93. 840-747=93.
Thus, the correct answer is C.

13.

Un semáforo recorre repetidamente el siguiente ciclo: verde durante 3030 segundos, luego amarillo durante 33 segundos y luego rojo durante 3030 segundos. Leah elige un intervalo de tiempo aleatorio de tres segundos para observar el semáforo. ¿Cuál es la probabilidad de que el color cambie mientras ella está observando?
A traffic light runs repeatedly through the following cycle: green for 3030 seconds, then yellow for 33 seconds, and then red for 3030 seconds. Leah picks a random three-second time interval to watch the light. What is the probability that the color changes while she is watching?
163\dfrac{1}{63}
121\dfrac{1}{21}
110\dfrac{1}{10}
17\dfrac{1}{7}
13\dfrac{1}{3}
Respuesta: D
Conceptos:probabilidad geométrica
Nivel de dificultad: 1410
Pista pequeña:
Un ciclo completo dura 30+3+30=6330+3+30=63 segundos.
One full cycle lasts 30+3+30=6330+3+30=63 seconds
Pista grande:
Un cambio se ve solo si su intervalo comienza dentro de los 33 segundos previos a uno de los tres cambios de color.
A change is seen only if her interval begins within 33 seconds before one of the three color switches
Solución:
La longitud del ciclo es 30+3+30=6330+3+30=63 segundos, con tres cambios de color por ciclo.
Leah ve un cambio exactamente cuando su intervalo de tres segundos comienza dentro de los 33 segundos previos a un cambio. Eso da 3⋅3=93\cdot3=9 segundos favorables de 63,63, una probabilidad de 963=17. \dfrac{9}{63}=\dfrac17.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The cycle length is 30+3+30=6330+3+30=63 seconds, with three color changes per cycle.
Leah sees a change exactly when her three-second interval starts within the 33 seconds before a switch. That gives 3⋅3=93\cdot3=9 favorable seconds out of 63,63, a probability of 963=17. \dfrac{9}{63}=\dfrac17.
Thus, the correct answer is D.

14.

El punto PP está dentro del △ABC\triangle ABC equilátero. Los puntos Q,Q, R,R, y SS son los pies de las perpendiculares desde PP a AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, y CA‾,\overline{CA}, respectivamente. Dado que PQ=1,PQ=1, PR=2,PR=2, y PS=3,PS=3, ¿cuánto vale ABAB?
Point PP is inside equilateral △ABC.\triangle ABC. Points Q,Q, R,R, and SS are the feet of the perpendiculars from PP to AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, and CA‾,\overline{CA}, respectively. Given that PQ=1,PQ=1, PR=2,PR=2, and PS=3,PS=3, what is AB?AB?
44
333\sqrt{3}
66
434\sqrt{3}
99
Respuesta: D
Conceptos:descomposición de áreastriángulo equiláteroárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1680
Pista pequeña:
Divide el △ABC\triangle ABC en △PAB,\triangle PAB, △PBC,\triangle PBC, △PCA,\triangle PCA, usando las perpendiculares como alturas.
Split △ABC\triangle ABC into △PAB,\triangle PAB, △PBC,\triangle PBC, △PCA,\triangle PCA, using the perpendiculars as heights
Pista grande:
Sus áreas suman 12s(1+2+3),\tfrac12 s(1+2+3), que también es igual a 34s2\tfrac{\sqrt3}{4}s^2.
Their areas sum to 12s(1+2+3),\tfrac12 s(1+2+3), which also equals 34s2\tfrac{\sqrt3}{4}s^2
Solución:
Sea s=AB.s=AB. Unir PP con los vértices divide el triángulo en △PAB,\triangle PAB, △PBC\triangle PBC y △PCA,\triangle PCA, con áreas s2,\tfrac{s}{2}, ss y 3s2.\tfrac{3s}{2}.
Su total es 3s,3s, que debe ser igual al área 34s2\tfrac{\sqrt3}{4}s^2 del triángulo equilátero. Así que 3s=34s2, 3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2, lo que da s=123=43.s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let s=AB.s=AB. Joining PP to the vertices splits the triangle into △PAB,\triangle PAB, △PBC,\triangle PBC, and △PCA,\triangle PCA, with areas s2,\tfrac{s}{2}, s,s, and 3s2.\tfrac{3s}{2}.
Their total is 3s,3s, which must equal the area 34s2\tfrac{\sqrt3}{4}s^2 of the equilateral triangle. So 3s=34s2, 3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2, giving s=123=43.s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.
Thus, the correct answer is D.

15.

La serie geométrica a+ar+ar2+⋯a+ar+ar^2+\cdots tiene una suma de 7,7, y los términos que involucran potencias impares de rr tienen una suma de 3.3. ¿Cuánto vale a+ra+r?
The geometric series a+ar+ar2+⋯a+ar+ar^2+\cdots has a sum of 7,7, and the terms involving odd powers of rr have a sum of 3.3. What is a+r?a+r?
43\dfrac{4}{3}
127\dfrac{12}{7}
32\dfrac{3}{2}
73\dfrac{7}{3}
52\dfrac{5}{2}
Respuesta: E
Conceptos:sucesión geométrica
Nivel de dificultad: 1580
Pista pequeña:
Los términos de potencia par suman 7−3=47-3=4.
The even-power terms sum to 7−3=47-3=4
Pista grande:
La serie de potencias impares es rr veces la serie de potencias pares, así que 3=r⋅43=r\cdot4.
The odd-power series is rr times the even-power series, so 3=r⋅43=r\cdot4
Solución:
Los términos de potencia impar son ar+ar3+⋯ar+ar^3+\cdots =r(a+ar2+⋯ ),=r(a+ar^2+\cdots), es decir, rr veces los términos de potencia par. Los términos de potencia par suman 7−3=4.7-3=4.
Así que 3=4r,3=4r, lo que da r=34.r=\tfrac34. Entonces a=7(1−r)=74,a=7(1-r)=\tfrac74, y a+r=74+34=52. a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The odd-power terms are ar+ar3+⋯ar+ar^3+\cdots =r(a+ar2+⋯ ),=r(a+ar^2+\cdots), that is, rr times the even-power terms. The even-power terms sum to 7−3=4.7-3=4.
So 3=4r,3=4r, giving r=34.r=\tfrac34. Then a=7(1−r)=74,a=7(1-r)=\tfrac74, and a+r=74+34=52. a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52.
Thus, the correct answer is E.

16.

Cada cara de un tetraedro regular se pinta de rojo, blanco o azul. Dos coloraciones se consideran indistinguibles si dos tetraedros congruentes con esas coloraciones pueden rotarse de modo que sus apariencias sean idénticas. ¿Cuántas coloraciones distinguibles son posibles?
Each face of a regular tetrahedron is painted either red, white, or blue. Two colorings are considered indistinguishable if two congruent tetrahedra with those colorings can be rotated so that their appearances are identical. How many distinguishable colorings are possible?
1515
1818
2727
5454
8181
Respuesta: A
Conceptos:Lema de Burnsidesimetría
Nivel de dificultad: 2000
Pista pequeña:
El tetraedro tiene 1212 simetrías rotacionales; aplica el lema de Burnside.
The tetrahedron has 1212 rotational symmetries; apply Burnside’s lemma
Pista grande:
Cuenta las coloraciones fijadas por la identidad, las 88 rotaciones de vértice y las 33 rotaciones de arista.
Count colorings fixed by the identity, the 88 vertex rotations, and the 33 edge rotations
Solución:
El grupo de rotaciones del tetraedro tiene 1212 elementos: la identidad, 88 rotaciones de orden 33 alrededor de un eje vértice-cara y 33 rotaciones de orden 22 alrededor de un eje punto-medio-de-arista.
La identidad fija las 34=813^4=81 coloraciones. Cada rotación de vértice fija una cara y hace ciclar las otras tres, así que fija 32=93^2=9 coloraciones; de igual modo cada rotación de arista intercambia dos pares de caras y fija 32=9.3^2=9.
Por el lema de Burnside, el número de coloraciones distinguibles es 81+8⋅9+3⋅912=18012=15. \dfrac{81+8\cdot9+3\cdot9}{12}=\dfrac{180}{12}=15.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The rotation group of the tetrahedron has 1212 elements: the identity, 88 rotations of order 33 about a vertex-face axis, and 33 rotations of order 22 about an edge-midpoint axis.
The identity fixes all 34=813^4=81 colorings. Each vertex rotation fixes one face and cycles the other three, so it fixes 32=93^2=9 colorings; likewise each edge rotation swaps two pairs of faces and fixes 32=9.3^2=9.
By Burnside’s lemma the number of distinguishable colorings is 81+8⋅9+3⋅912=18012=15. \dfrac{81+8\cdot9+3\cdot9}{12}=\dfrac{180}{12}=15.
Thus, the correct answer is A.

17.

Si aa es un entero distinto de cero y bb es un número positivo tal que ab2=log⁡10b,ab^2=\log_{10}b, ¿cuál es la mediana del conjunto {0,1,a,b,1b}\{0,1,a,b,\frac{1}{b}\}?
If aa is a nonzero integer and bb is a positive number such that ab2=log⁡10b,ab^2=\log_{10}b, what is the median of the set {0,1,a,b,1b}?\{0,1,a,b,\frac{1}{b}\}?
00
11
aa
bb
1b\dfrac{1}{b}
Respuesta: D
Conceptos:logaritmodesigualdadmediana (datos)
Nivel de dificultad: 2060
Pista pequeña:
Como b<10bb\lt10^b para todo b>0,b\gt0, tenemos log⁡10b<b\log_{10}b\lt b.
Since b<10bb\lt10^b for all b>0,b\gt0, we have log⁡10b<b\log_{10}b\lt b
Pista grande:
Descarta b≥1b\ge1 comprobando si a=log⁡10bb2a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2} puede ser un entero distinto de cero.
Rule out b≥1b\ge1 by checking whether a=log⁡10bb2a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2} can be a nonzero integer
Solución:
Para b>0,b\gt0, tenemos b<10b,b\lt10^b, y por tanto log⁡10b<b.\log_{10}b\lt b. Si b=1,b=1, entonces a=0.a=0. Si b>1,b\gt1, entonces 0<log⁡10bb2<1,0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1, así que aa no podría ser un entero.
Por tanto 0<b<1,0\lt b\lt1, así que log⁡10b<0\log_{10}b\lt0 y a=log⁡10bb2<0.a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0. Así a<0<b<1<1b,a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b, y el valor central del conjunto ordenado es b.b.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
For b>0,b\gt0, we have b<10b,b\lt10^b, hence log⁡10b<b.\log_{10}b\lt b. If b=1,b=1, then a=0.a=0. If b>1,b\gt1, then 0<log⁡10bb2<1,0\lt\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt1, so aa could not be an integer.
Hence 0<b<1,0\lt b\lt1, so log⁡10b<0\log_{10}b\lt0 and a=log⁡10bb2<0.a=\dfrac{\log_{10}b}{b^2}\lt0. Thus a<0<b<1<1b,a\lt0\lt b\lt1\lt\dfrac1b, and the middle value of the sorted set is b.b.
Thus, the correct answer is D.

18.

Sean a,a, b,b, y cc dígitos con a≠0.a\ne0. El entero de tres dígitos abc‾\overline{abc} se encuentra a un tercio del camino desde el cuadrado de un entero positivo hasta el cuadrado del siguiente entero mayor. El entero acb‾\overline{acb} se encuentra a dos tercios del camino entre los mismos dos cuadrados. ¿Cuánto vale a+b+ca+b+c?
Let a,a, b,b, and cc be digits with a≠0.a\ne0. The three-digit integer abc‾\overline{abc} lies one third of the way from the square of a positive integer to the square of the next larger integer. The integer acb‾\overline{acb} lies two thirds of the way between the same two squares. What is a+b+c?a+b+c?
1010
1313
1616
1818
2121
Respuesta: C
Conceptos:cuadrado perfectovalor posicionaldivisibilidad
Nivel de dificultad: 1930
Pista pequeña:
Sean los dos cuadrados N2N^2 y (N+1)2;(N+1)^2; su diferencia es 2N+12N+1.
Let the two squares be N2N^2 and (N+1)2;(N+1)^2; their difference is 2N+12N+1
Pista grande:
Restar las dos posiciones da acb‾−abc‾=9(c−b)=2N+13\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)=\tfrac{2N+1}{3}.
Subtracting the two positions gives acb‾−abc‾=9(c−b)=2N+13\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)=\tfrac{2N+1}{3}
Solución:
Sea el cuadrado menor N2,N^2, de modo que el mayor es (N+1)2(N+1)^2 y la separación es 2N+1.2N+1. Entonces abc‾=N2+2N+13, \overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3}, acb‾=N2+2(2N+1)3. \overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}.
Al restar, acb‾−abc‾=9(c−b)\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b) =2N+13,=\dfrac{2N+1}{3}, así que 27(c−b)=2N+1.27(c-b)=2N+1. Como acb‾\overline{acb} está más adelante en el intervalo, c−bc-b es positivo; y como el lado derecho es impar, c−bc-b es impar. Si c−b≥3,c-b\ge3, entonces N≥40N\ge40 y N2N^2 no tiene tres cifras.
Así, c−b=1,c-b=1, lo que da N=13.N=13. Los puntos a un tercio y dos tercios desde 132=16913^2=169 hasta 142=19614^2=196 son 178178 y 187,187, por lo que a+b+c=1+7+8=16.a+b+c=1+7+8=16.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let the smaller square be N2,N^2, so the larger is (N+1)2(N+1)^2 and the gap is 2N+1.2N+1. Then abc‾=N2+2N+13, \overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3}, acb‾=N2+2(2N+1)3. \overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}.
Subtracting, acb‾−abc‾=9(c−b)\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b) =2N+13,=\dfrac{2N+1}{3}, so 27(c−b)=2N+1.27(c-b)=2N+1. Since acb‾\overline{acb} is farther along the interval, c−bc-b is positive; and because the right side is odd, c−bc-b is odd. If c−b≥3,c-b\ge3, then N≥40N\ge40 and N2N^2 is not three digits.
So c−b=1,c-b=1, giving N=13.N=13. The points one third and two thirds of the way from 132=16913^2=169 to 142=19614^2=196 are 178178 and 187,187, so a+b+c=1+7+8=16.a+b+c=1+7+8=16.
Thus, the correct answer is C.

19.

El rombo ABCD,ABCD, con longitud de lado 6,6, se enrolla para formar un cilindro de volumen 66 pegando AB‾\overline{AB} a DC‾.\overline{DC}. ¿Cuánto vale sin⁡(∠ABC)\sin(\angle ABC)?
Rhombus ABCD,ABCD, with side length 6,6, is rolled to form a cylinder of volume 66 by taping AB‾\overline{AB} to DC‾.\overline{DC}. What is sin⁡(∠ABC)?\sin(\angle ABC)?
π9\dfrac{\pi}{9}
12\dfrac{1}{2}
π6\dfrac{\pi}{6}
π4\dfrac{\pi}{4}
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Respuesta: A
Conceptos:cilindrorombotrigonometría
Nivel de dificultad: 1830
Pista pequeña:
Pegar AB‾\overline{AB} a DC‾\overline{DC} hace que un lado de longitud 66 sea la circunferencia de la base, así que el radio es 3π\frac{3}{\pi}.
Taping AB‾\overline{AB} to DC‾\overline{DC} makes a side of length 66 the base circumference, so the radius is 3π\frac{3}{\pi}
Pista grande:
La altura del cilindro es la altura del rombo 6sin⁡θ;6\sin\theta; iguala el volumen a 66.
The cylinder’s height is the rhombus altitude 6sin⁡θ;6\sin\theta; set the volume equal to 66
Solución:
Sea θ=∠ABC.\theta=\angle ABC. El círculo de la base tiene circunferencia 6,6, así que su radio es 62π=3π.\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi. La altura del cilindro es la altura del rombo 6sin⁡θ.6\sin\theta.
El volumen es π(3π)2(6sin⁡θ)=54πsin⁡θ=6, \pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6, así que sin⁡θ=π9.\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let θ=∠ABC.\theta=\angle ABC. The base circle has circumference 6,6, so its radius is 62π=3π.\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi. The height of the cylinder is the rhombus altitude 6sin⁡θ.6\sin\theta.
The volume is π(3π)2(6sin⁡θ)=54πsin⁡θ=6, \pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6, so sin⁡θ=π9.\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}.
Thus, the correct answer is A.

20.

El paralelogramo delimitado por las rectas y=ax+c,y=ax+c, y=ax+d,y=ax+d, y=bx+c,y=bx+c, y y=bx+dy=bx+d tiene área 18.18. El paralelogramo delimitado por las rectas y=ax+c,y=ax+c, y=ax−d,y=ax-d, y=bx+c,y=bx+c, y y=bx−dy=bx-d tiene área 72.72. Dado que a,a, b,b, c,c, y dd son enteros positivos, ¿cuál es el menor valor posible de a+b+c+da+b+c+d?
The parallelogram bounded by the lines y=ax+c,y=ax+c, y=ax+d,y=ax+d, y=bx+c,y=bx+c, and y=bx+dy=bx+d has area 18.18. The parallelogram bounded by the lines y=ax+c,y=ax+c, y=ax−d,y=ax-d, y=bx+c,y=bx+c, and y=bx−dy=bx-d has area 72.72. Given that a,a, b,b, c,c, and dd are positive integers, what is the smallest possible value of a+b+c+d?a+b+c+d?
1313
1414
1515
1616
1717
Respuesta: D
Conceptos:geometría analíticaparalelogramooptimización
Nivel de dificultad: 2040
Pista pequeña:
El primer paralelogramo tiene área (c−d)2∣b−a∣;\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}; el segundo tiene área (c+d)2∣b−a∣\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}.
The first parallelogram has area (c−d)2∣b−a∣;\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}; the second has area (c+d)2∣b−a∣\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}
Pista grande:
Restar da 4cd=54∣b−a∣;4cd=54|b-a|; luego minimiza con enteros positivos pequeños.
Subtracting gives 4cd=54∣b−a∣;4cd=54|b-a|; then minimize with small positive integers
Solución:
Dos vértices del primer paralelogramo están en (0,c)(0,c) y (0,d),(0,d), y los otros dos tienen coordenadas xx iguales a ±c−db−a.\pm\dfrac{c-d}{b-a}. Su área resulta ser (c−d)2∣b−a∣=18.\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}=18. El mismo cálculo para el segundo da (c+d)2∣b−a∣=72.\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}=72.
Así que (c−d)2=18∣b−a∣(c-d)^2=18|b-a| y (c+d)2=72∣b−a∣.(c+d)^2=72|b-a|. Restando, 4cd=54∣b−a∣,4cd=54|b-a|, es decir, 2cd=27∣b−a∣.2cd=27|b-a|.
Por tanto ∣b−a∣|b-a| es par, así que a+ba+b es mínimo con {a,b}={1,3};\{a,b\}=\{1,3\}; y cdcd es un múltiplo de 27,27, así que c+dc+d es mínimo con {c,d}={3,9}.\{c,d\}=\{3,9\}. Estos satisfacen todas las condiciones, dando a+b+c+d=1+3+3+9a+b+c+d=1+3+3+9 =16.=16.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Two vertices of the first parallelogram lie at (0,c)(0,c) and (0,d),(0,d), and the other two have xx-coordinates ±c−db−a.\pm\dfrac{c-d}{b-a}. Its area works out to (c−d)2∣b−a∣=18.\dfrac{(c-d)^2}{|b-a|}=18. The same computation for the second gives (c+d)2∣b−a∣=72.\dfrac{(c+d)^2}{|b-a|}=72.
So (c−d)2=18∣b−a∣(c-d)^2=18|b-a| and (c+d)2=72∣b−a∣.(c+d)^2=72|b-a|. Subtracting, 4cd=54∣b−a∣,4cd=54|b-a|, i.e. 2cd=27∣b−a∣.2cd=27|b-a|.
Thus ∣b−a∣|b-a| is even, so a+ba+b is smallest with {a,b}={1,3};\{a,b\}=\{1,3\}; and cdcd is a multiple of 27,27, so c+dc+d is smallest with {c,d}={3,9}.\{c,d\}=\{3,9\}. These satisfy all conditions, giving a+b+c+d=1+3+3+9a+b+c+d=1+3+3+9 =16.=16.
Thus, the correct answer is D.

21.

Los primeros 20072007 enteros positivos se escriben cada uno en base 3.3. ¿Cuántas de estas representaciones en base 33 son capicúas? (Un capicúa es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.)
The first 20072007 positive integers are each written in base 3.3. How many of these base-33 representations are palindromes? (A palindrome is a number that reads the same forward and backward.)
100100
101101
102102
103103
104104
Respuesta: A
Conceptos:base numéricapalíndromoanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2100
Pista pequeña:
Cuenta los capicúas en base 33 según su número de dígitos; nota que 36=729<2007<2187=373^6=729\lt2007\lt2187=3^7.
Count base-33 palindromes by their number of digits; note 36=729<2007<2187=373^6=729\lt2007\lt2187=3^7
Pista grande:
Suma todos los capicúas con hasta 77 dígitos, luego quita los de 77 dígitos que exceden 2007=220210032007=2202100_3.
Total all palindromes with up to 77 digits, then remove the 77-digit ones exceeding 2007=220210032007=2202100_3
Solución:
Un capicúa queda determinado por su primera mitad. Contando los capicúas en base 33 por longitud se obtienen 22 de longitud 11 o 2,2, 66 de longitud 33 o 4,4, 1818 de longitud 55 o 6,6, y 5454 de longitud 7.7.
Eso suma 2+2+6+6+18+182+2+6+6+18+18 +54=106+54=106 capicúas con a lo sumo 77 dígitos. Como 2007=22021003,2007=2202100_3, los capicúas de 77 dígitos mayores que él son 2210122,2210122, 2211122,2211122, 2212122,2212122, 2220222,2220222, 2221222,2221222, y 2222222,2222222, que son 66 de ellos.
Por lo tanto, el conteo es 106−6=100.106-6=100.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
A palindrome is fixed by its first half. Counting base-33 palindromes by length gives 22 of length 11 or 2,2, 66 of length 33 or 4,4, 1818 of length 55 or 6,6, and 5454 of length 7.7.
That totals 2+2+6+6+18+182+2+6+6+18+18 +54=106+54=106 palindromes with at most 77 digits. Since 2007=22021003,2007=2202100_3, the 77-digit palindromes larger than it are 2210122,2210122, 2211122,2211122, 2212122,2212122, 2220222,2220222, 2221222,2221222, and 2222222,2222222, which is 66 of them.
Therefore the count is 106−6=100.106-6=100.
Thus, the correct answer is A.

22.

Dos partículas se mueven a lo largo de las aristas del △ABC\triangle ABC equilátero en la dirección A→B→C→A,A\to B\to C\to A, partiendo simultáneamente y moviéndose a la misma velocidad. Una parte de A,A, y la otra parte del punto medio de BC‾.\overline{BC}. El punto medio del segmento que une las dos partículas traza una trayectoria que encierra una región R.R. ¿Cuál es la razón entre el área de RR y el área del △ABC\triangle ABC?
Two particles move along the edges of equilateral △ABC\triangle ABC in the direction A→B→C→A,A\to B\to C\to A, starting simultaneously and moving at the same speed. One starts at A,A, and the other starts at the midpoint of BC‾.\overline{BC}. The midpoint of the line segment joining the two particles traces out a path that encloses a region R.R. What is the ratio of the area of RR to the area of △ABC?\triangle ABC?
116\dfrac{1}{16}
112\dfrac{1}{12}
19\dfrac{1}{9}
16\dfrac{1}{6}
14\dfrac{1}{4}
Respuesta: A
Conceptos:semejanzarazón de áreasbaricentro
Nivel de dificultad: 2220
Pista pequeña:
Como ambas partículas se mueven linealmente, el punto medio también se mueve linealmente entre los instantes clave; llama XYZXYZ al triángulo trazado
Because both particles move linearly, the midpoint also moves linearly between key instants; call the traced triangle XYZXYZ
Pista grande:
Ese triángulo está centrado en el centroide O;O; compara su circunradio OZOZ con OCOC.
That triangle is centered at the centroid O;O; compare its circumradius OZOZ to OCOC
Solución:
Sean D,E,FD,E,F los puntos medios de BC,CA,AB,BC,CA,AB, respectivamente, y sean X,Y,ZX,Y,Z los puntos medios de AD,BE,CF,AD,BE,CF, respectivamente. Sigamos un tercer punto a mitad de camino entre las dos partículas. Está en XX cuando las partículas están en A,D;A,D; en ZZ cuando están en F,C;F,C; y en YY cuando están en B,E.B,E.
Entre esos instantes, ambas posiciones varían linealmente, así que su punto medio traza los segmentos XZ,ZY,YX.XZ,ZY,YX. La trayectoria encerrada es el triángulo equilátero XYZ,XYZ, que por simetría comparte el centro OO de △ABC.\triangle ABC. Como ZZ es el punto medio de la mediana CF,CF, OZ=OC−ZC=23CF−12CF=16CF, \begin{aligned} OZ&=OC-ZC \\ &=\dfrac23 CF-\dfrac12 CF \\ &=\dfrac16 CF, \end{aligned} mientras que OC=23CF.OC=\dfrac23 CF.
La razón de circunradios es OZOC=14,\dfrac{OZ}{OC}=\dfrac14, y la razón de áreas es (14)2=116.\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let D,E,FD,E,F be the midpoints of BC,CA,AB,BC,CA,AB, respectively, and let X,Y,ZX,Y,Z be the midpoints of AD,BE,CF,AD,BE,CF, respectively. Track a third point halfway between the two particles. It is at XX when the particles are at A,D;A,D; at ZZ when they are at F,C;F,C; and at YY when they are at B,E.B,E.
Between these instants both particle positions vary linearly, so their midpoint traces the segments XZ,ZY,YX.XZ,ZY,YX. Thus the enclosed path is the equilateral triangle XYZ,XYZ, which by symmetry shares the center OO of △ABC.\triangle ABC. Because ZZ is the midpoint of the median CF,CF, OZ=OC−ZC=23CF−12CF=16CF, \begin{aligned} OZ&=OC-ZC \\ &=\dfrac23 CF-\dfrac12 CF \\ &=\dfrac16 CF, \end{aligned} while OC=23CF.OC=\dfrac23 CF.
So the ratio of circumradii is OZOC=14,\dfrac{OZ}{OC}=\dfrac14, and the area ratio is (14)2=116.\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}.
Thus, the correct answer is A.

23.

¿Cuántos triángulos rectángulos no congruentes con longitudes de catetos enteras positivas tienen áreas numéricamente iguales a 33 veces sus perímetros?
How many non-congruent right triangles with positive integer leg lengths have areas that are numerically equal to 33 times their perimeters?
66
77
88
1010
1212
Respuesta: A
Conceptos:triángulo rectánguloEcuación diofánticaTruco de factorización favorito de Simon
Nivel de dificultad: 2140
Pista pequeña:
Con catetos a≤b,a\le b, escribe 12ab=3(a+b+a2+b2)\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right) y despeja el radical.
With legs a≤b,a\le b, write 12ab=3(a+b+a2+b2)\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right) and isolate the radical
Pista grande:
Elevar al cuadrado y simplificar da (a−12)(b−12)=72;(a-12)(b-12)=72; cuenta los pares de factores y descarta los degenerados.
Squaring and simplifying yields (a−12)(b−12)=72;(a-12)(b-12)=72; check the factor-pair candidates in the original equation to remove extraneous ones
Solución:
Sean los catetos a≤b.a\le b. La condición es 12ab=3(a+b+a2+b2),\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right), así que ab−6a−6b=6a2+b2. ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}.
Elevar al cuadrado y simplificar da ab(ab−12a−12b+72)=0,ab(ab-12a-12b+72)=0, por lo tanto (a−12)(b−12)=72.(a-12)(b-12)=72. Las soluciones enteras positivas son (a,b)=(3,4),(a,b)=(3,4), (13,84),(13,84), (14,48),(14,48), (15,36),(15,36), (16,30),(16,30), (18,24),(18,24), (20,21).(20,21).
El par (3,4)(3,4) es espurio: su área es 6,6, mientras que su perímetro es 1212 y el triple de eso es 36.36. Así que funcionan exactamente 66 triángulos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let the legs be a≤b.a\le b. The condition is 12ab=3(a+b+a2+b2),\tfrac12 ab=3\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right), so ab−6a−6b=6a2+b2. ab-6a-6b=6\sqrt{a^2+b^2}.
Squaring and simplifying gives ab(ab−12a−12b+72)=0,ab(ab-12a-12b+72)=0, hence (a−12)(b−12)=72.(a-12)(b-12)=72. The positive integer solutions are (a,b)=(3,4),(a,b)=(3,4), (13,84),(13,84), (14,48),(14,48), (15,36),(15,36), (16,30),(16,30), (18,24),(18,24), (20,21).(20,21).
The pair (3,4)(3,4) is extraneous: its area is 6,6, while its perimeter is 1212 and three times that is 36.36. So exactly 66 triangles work.
Thus, the correct answer is A.

24.

¿Cuántos pares de enteros positivos (a,b)(a,b) hay tales que gcd⁡(a,b)=1\gcd(a,b)=1 y ab+14b9a\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a} es un entero?
How many pairs of positive integers (a,b)(a,b) are there such that gcd⁡(a,b)=1\gcd(a,b)=1 and ab+14b9a\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a} is an integer?
44
66
99
1212
infinitos
infinitely many
Respuesta: A
Conceptos:divisibilidadmáximo común divisoranálisis por casos
Nivel de dificultad: 2340
Pista pequeña:
Al despejar bb se ve que 14b29a\dfrac{14b^2}{9a} es un entero, y como gcd⁡(a,b)=1,\gcd(a,b)=1, 1414 es divisible por aa.
Clearing bb shows 14b29a\dfrac{14b^2}{9a} is an integer, and since gcd⁡(a,b)=1,\gcd(a,b)=1, 1414 is divisible by aa
Pista grande:
De manera similar 99 es divisible por b,b, así que a∈{1,2,7,14}a\in\{1,2,7,14\} y b∈{1,3,9};b\in\{1,3,9\}; prueba los pares coprimos.
Similarly 99 is divisible by b,b, so a∈{1,2,7,14}a\in\{1,2,7,14\} and b∈{1,3,9};b\in\{1,3,9\}; test the coprime pairs
Solución:
Sea kk el valor entero de la expresión original. Multiplicando por bb y restando aa se obtiene 14b29a=bk−a,\dfrac{14b^2}{9a}=bk-a, un entero. Como gcd⁡(a,b)=1,\gcd(a,b)=1, se sigue que 1414 es divisible por a.a. Multiplicando en cambio por 9a9a y restando 14b14b se obtiene 9a2b=9ak−14b,\dfrac{9a^2}{b}=9ak-14b, así que 99 es divisible por b.b.
Por tanto a∈{1,2,7,14}a\in\{1,2,7,14\} y b∈{1,3,9}.b\in\{1,3,9\}. Comprobando los candidatos coprimos, la expresión es un entero solo para (a,b)=(1,3),(a,b)=(1,3), (2,3),(2,3), (7,3),(7,3), (14,3).(14,3).
Así que hay 44 tales pares.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let kk be the integer value of the original expression. Multiplying by bb and subtracting aa gives 14b29a=bk−a,\dfrac{14b^2}{9a}=bk-a, an integer. Since gcd⁡(a,b)=1,\gcd(a,b)=1, it follows that 1414 is divisible by a.a. Multiplying instead by 9a9a and subtracting 14b14b gives 9a2b=9ak−14b,\dfrac{9a^2}{b}=9ak-14b, so 99 is divisible by b.b.
Thus a∈{1,2,7,14}a\in\{1,2,7,14\} and b∈{1,3,9}.b\in\{1,3,9\}. Checking the coprime candidates, the expression is an integer only for (a,b)=(1,3),(a,b)=(1,3), (2,3),(2,3), (7,3),(7,3), (14,3).(14,3).
So there are 44 such pairs.
Thus, the correct answer is A.

25.

Los puntos A,A, B,B, C,C, D,D, y EE están ubicados en el espacio de 33 dimensiones con AB=BC=CDAB=BC=CD =DE=EA=2=DE=EA=2 y ∠ABC=∠CDE\angle ABC=\angle CDE =∠DEA=90∘.=\angle DEA=90^\circ. El plano del △ABC\triangle ABC es paralelo a DE‾.\overline{DE}. ¿Cuál es el área del △BDE\triangle BDE?
Points A,A, B,B, C,C, D,D, and EE are located in 33-dimensional space with AB=BC=CDAB=BC=CD =DE=EA=2=DE=EA=2 and ∠ABC=∠CDE\angle ABC=\angle CDE =∠DEA=90∘.=\angle DEA=90^\circ. The plane of △ABC\triangle ABC is parallel to DE‾.\overline{DE}. What is the area of △BDE?\triangle BDE?
2\sqrt{2}
3\sqrt{3}
22
5\sqrt{5}
6\sqrt{6}
Respuesta: C
Conceptos:Geometría 3Dgeometría analíticaárea del triángulo
Nivel de dificultad: 2400
Pista pequeña:
Coloca D=(−1,0,0),D=(-1,0,0), E=(1,0,0),E=(1,0,0), y pon el △ABC\triangle ABC en un plano horizontal z=k>0z=k\gt0.
Place D=(−1,0,0),D=(-1,0,0), E=(1,0,0),E=(1,0,0), and put △ABC\triangle ABC in a horizontal plane z=k>0z=k\gt0
Pista grande:
Los ángulos rectos en DD y EE ponen a A,CA,C en círculos de radio 22; usa AC=22AC=2\sqrt2 para hallar kk.
The right angles at DD and EE put A,CA,C on radius-22 circles; use AC=22AC=2\sqrt2 to find kk
Solución:
Establece D=(−1,0,0)D=(-1,0,0) y E=(1,0,0),E=(1,0,0), y deja que el △ABC\triangle ABC esté en el plano z=k>0.z=k\gt0. Como ∠CDE\angle CDE y ∠DEA\angle DEA son ángulos rectos, AA y CC están en círculos de radio 22 centrados en EE y DD en los planos x=1x=1 y x=−1,x=-1, así que A=(1,y1,k), C=(−1,y2,k)A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k) con yj=±4−k2.y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.
Como ∠ABC=90∘,\angle ABC=90^\circ, AC=22,AC=2\sqrt2, lo que fuerza y1=−y2.y_1=-y_2. Tomando y1=1,y_1=1, y2=−1,y_2=-1, se obtiene k=3,k=\sqrt3, así que A=(1,1,3),A=(1,1,\sqrt3), C=(−1,−1,3),C=(-1,-1,\sqrt3), y BB es (1,−1,3)(1,-1,\sqrt3) o (−1,1,3).(-1,1,\sqrt3).
En el primer caso BE=2BE=2 con BE⊥DE;BE\perp DE; en el segundo BD=2BD=2 con BD⊥DE.BD\perp DE. En cualquier caso el △BDE\triangle BDE tiene catetos 22 y 2,2, así que su área es 12(2)(2)=2.\tfrac12(2)(2)=2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Set D=(−1,0,0)D=(-1,0,0) and E=(1,0,0),E=(1,0,0), and let △ABC\triangle ABC lie in the plane z=k>0.z=k\gt0. Because ∠CDE\angle CDE and ∠DEA\angle DEA are right angles, AA and CC lie on radius-22 circles centered at EE and DD in the planes x=1x=1 and x=−1,x=-1, so A=(1,y1,k), C=(−1,y2,k)A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k) with yj=±4−k2.y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.
Since ∠ABC=90∘,\angle ABC=90^\circ, AC=22,AC=2\sqrt2, which forces y1=−y2.y_1=-y_2. Taking y1=1,y_1=1, y2=−1,y_2=-1, gives k=3,k=\sqrt3, so A=(1,1,3),A=(1,1,\sqrt3), C=(−1,−1,3),C=(-1,-1,\sqrt3), and BB is (1,−1,3)(1,-1,\sqrt3) or (−1,1,3).(-1,1,\sqrt3).
In the first case BE=2BE=2 with BE⊥DE;BE\perp DE; in the second BD=2BD=2 with BD⊥DE.BD\perp DE. Either way △BDE\triangle BDE has legs 22 and 2,2, so its area is 12(2)(2)=2.\tfrac12(2)(2)=2.
Thus, the correct answer is C.