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2007 AMC 12B Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2007 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

El punto PP está dentro del △ABC\triangle ABC equilátero. Los puntos Q,Q, R,R, y SS son los pies de las perpendiculares desde PP a AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, y CA‾,\overline{CA}, respectivamente. Dado que PQ=1,PQ=1, PR=2,PR=2, y PS=3,PS=3, ¿cuánto vale ABAB?
Point PP is inside equilateral △ABC.\triangle ABC. Points Q,Q, R,R, and SS are the feet of the perpendiculars from PP to AB‾,\overline{AB}, BC‾,\overline{BC}, and CA‾,\overline{CA}, respectively. Given that PQ=1,PQ=1, PR=2,PR=2, and PS=3,PS=3, what is AB?AB?
44
333\sqrt{3}
66
434\sqrt{3}
99
Respuesta: D
Conceptos:descomposición de áreastriángulo equiláteroárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1680
Pista pequeña:
Divide el △ABC\triangle ABC en △PAB,\triangle PAB, △PBC,\triangle PBC, △PCA,\triangle PCA, usando las perpendiculares como alturas.
Split △ABC\triangle ABC into △PAB,\triangle PAB, △PBC,\triangle PBC, △PCA,\triangle PCA, using the perpendiculars as heights
Pista grande:
Sus áreas suman 12s(1+2+3),\tfrac12 s(1+2+3), que también es igual a 34s2\tfrac{\sqrt3}{4}s^2.
Their areas sum to 12s(1+2+3),\tfrac12 s(1+2+3), which also equals 34s2\tfrac{\sqrt3}{4}s^2
Solución:
Sea s=AB.s=AB. Unir PP con los vértices divide el triángulo en △PAB,\triangle PAB, △PBC\triangle PBC y △PCA,\triangle PCA, con áreas s2,\tfrac{s}{2}, ss y 3s2.\tfrac{3s}{2}.
Su total es 3s,3s, que debe ser igual al área 34s2\tfrac{\sqrt3}{4}s^2 del triángulo equilátero. Así que 3s=34s2, 3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2, lo que da s=123=43.s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let s=AB.s=AB. Joining PP to the vertices splits the triangle into △PAB,\triangle PAB, △PBC,\triangle PBC, and △PCA,\triangle PCA, with areas s2,\tfrac{s}{2}, s,s, and 3s2.\tfrac{3s}{2}.
Their total is 3s,3s, which must equal the area 34s2\tfrac{\sqrt3}{4}s^2 of the equilateral triangle. So 3s=34s2, 3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2, giving s=123=43.s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.
Thus, the correct answer is D.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

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