Question

El punto $P$ está dentro del $\triangle ABC$ equilátero. Los puntos $Q,$ $R$ y $S$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $\overline{AB},$ $\overline{BC}$ y $\overline{CA},$ respectivamente. Dado que $PQ=1,$ $PR=2$ y $PS=3,$ ¿cuánto vale $AB$ ?

Point $P$ is inside equilateral $\triangle ABC.$ Points $Q,$ $R,$ and $S$ are the feet of the perpendiculars from $P$ to $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{CA},$ respectively. Given that $PQ=1,$ $PR=2,$ and $PS=3,$ what is $AB?$

$4$

$3\sqrt{3}$

$6$

$4\sqrt{3}$

$9$

Solución:

Sea $s=AB.$ Unir $P$ con los vértices divide el triángulo en $\triangle PAB,$ $\triangle PBC$ y $\triangle PCA,$ con áreas $\tfrac{s}{2},$ $s$ y $\tfrac{3s}{2}.$

Su total es $3s,$ que debe ser igual al área $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$ del triángulo equilátero. Así que $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2,$ lo que da $s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $s=AB.$ Joining $P$ to the vertices splits the triangle into $\triangle PAB,$ $\triangle PBC,$ and $\triangle PCA,$ with areas $\tfrac{s}{2},$ $s,$ and $\tfrac{3s}{2}.$

Their total is $3s,$ which must equal the area $\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$ of the equilateral triangle. So $3s=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2,$ giving $s=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años