Question

Elmo hace $N$ sándwiches para una recaudación de fondos. Para cada sándwich usa $B$ porciones de mantequilla de maní a $4$ ¢ cada una, y $J$ porciones de mermelada a $5$ ¢ cada una. El costo de la mantequilla de maní y la mermelada para hacer todos los sándwiches es $\$2.53$ . Supón que $B$ , $J$ y $N$ son enteros positivos con $N \gt 1$ . ¿Cuál es el costo de la mermelada que Elmo usa para hacer los sándwiches?

Elmo makes $N$ sandwiches for a fundraiser. For each sandwich he uses $B$ globs of peanut butter at $4$ ¢ per glob and $J$ blobs of jam at $5$ ¢ per blob. The cost of the peanut butter and jam to make all the sandwiches is $\$2.53.$ Assume that $B,$ $J,$ and $N$ are positive integers with $N \gt 1.$ What is the cost of the jam Elmo uses to make the sandwiches?

$\$1.05$

$\$1.25$

$\$1.45$

$\$1.65$

$\$1.85$

Solución:

El costo total en centavos es $N(4B + 5J) = 253 = 11 \cdot 23$ . Como $N \gt 1$ , el valor de $N$ es $11$ , $23$ o $253$ .

Si $N = 253$ entonces $4B + 5J = 1$ ; y si $N = 23$ entonces $4B + 5J = 11$ ; ninguno tiene solución en enteros positivos.

Así que $N = 11$ , y $4B + 5J = 23$ , cuya única solución en enteros positivos es $B = 2$ , $J = 3$ .

La mermelada cuesta $N \cdot J \cdot 5$ ¢ $= 11 \cdot 3 \cdot 5 = 165$ centavos, es decir, $\$1.65$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The total cost in cents is $N(4B + 5J) = 253 = 11 \cdot 23.$ Since $N \gt 1,$ the value of $N$ is $11,$ $23,$ or $253.$

If $N = 253$ then $4B + 5J = 1,$ and if $N = 23$ then $4B + 5J = 11;$ neither has a positive integer solution.

So $N = 11$ and $4B + 5J = 23,$ whose only positive solution is $B = 2,$ $J = 3.$

The jam costs $N \cdot J \cdot 5$ ¢ $= 11 \cdot 3 \cdot 5 = 165$ cents, or $\$1.65.$

Thus, the correct answer is D.

2006 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años