¿Cuál es el valor de a para el cual (1)/(\log_2 a) + (1)/(\log_3 a) + (1)/(\log_4 a) = 1?

2015 AMC 12A Problema 14 — Solución

2015 AMC 12A Problema 14

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 14 del 2015 AMC 12A, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2015 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1730

14.

¿Cuál es el valor de $a$ para el cual $\dfrac{1}{\log_2 a} + \dfrac{1}{\log_3 a} + \dfrac{1}{\log_4 a} = 1?$

What is the value of $a$ for which $\dfrac{1}{\log_2 a} + \dfrac{1}{\log_3 a} + \dfrac{1}{\log_4 a} = 1?$

$9$

$12$

$18$

$24$

$36$

Solución:

Por la fórmula de cambio de base, $\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b.$ Por lo tanto $\begin{aligned} &1 = \log_a 2 + \log_a 3 \\ &\quad {}+ \log_a 4 = \log_a 24. \end{aligned}$

De esto se sigue que $a = 24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the change-of-base formula, $\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b.$ Therefore $\begin{aligned} &1 = \log_a 2 + \log_a 3 \\ &\quad {}+ \log_a 4 = \log_a 24. \end{aligned}$

It follows that $a = 24.$

Thus, the correct answer is D.

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