Question

¿Para cuántos pares ordenados $(a,b)$ de enteros el polinomio $x^3+ax^2+bx+6$ tiene $3$ raíces enteras distintas?

For how many ordered pairs $(a,b)$ of integers does the polynomial $x^3+ax^2+bx+6$ have $3$ distinct integer roots?

$5$

$6$

$8$

$7$

$4$

Solución:

Por Vieta, las tres raíces enteras distintas multiplican a $-6.$ Los conjuntos de tres enteros distintos con producto $-6$ son $\{1,2,-3\},$ $\{1,-2,3\},$ $\{-1,2,3\},$ $\{-1,-2,-3\},$ y $\{1,-1,6\}.$ Cada conjunto determina $a=-(p+q+r)$ y $b=pq+qr+rp,$ y los cinco dan pares diferentes, así que hay $5$ pares ordenados $(a,b).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Vieta, the three distinct integer roots multiply to $-6.$ The sets of three distinct integers with product $-6$ are $\{1,2,-3\},$ $\{1,-2,3\},$ $\{-1,2,3\},$ $\{-1,-2,-3\},$ and $\{1,-1,6\}.$ Each set determines $a=-(p+q+r)$ and $b=pq+qr+rp,$ and all five give different pairs, so there are $5$ ordered pairs $(a,b).$

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años