Question

Dos granjeros acuerdan que los cerdos valen $\$300$ y que las cabras valen $\$210.$ Cuando un granjero le debe dinero al otro, paga la deuda con cerdos o cabras, recibiendo "cambio" en forma de cabras o cerdos según sea necesario. (Por ejemplo, una deuda de $\$390$ podría pagarse con dos cerdos, recibiendo una cabra de cambio.) ¿Cuál es el monto de la menor deuda positiva que puede saldarse de esta manera?

Two farmers agree that pigs are worth $\$300$ and that goats are worth $\$210.$ When one farmer owes the other money, he pays the debt in pigs or goats, with "change" received in the form of goats or pigs as necessary. (For example, a $\$390$ debt could be paid with two pigs, with one goat received in change.) What is the amount of the smallest positive debt that can be resolved in this way?

$\$5$

$\$10$

$\$30$

$\$90$

$\$210$

Solución:

Una deuda $D$ es saldable si y solo si $D = 300p + 210g$ $= 30(10p + 7g)$ para enteros $p, g.$ Así, $D$ es un múltiplo de $\gcd(300, 210) = 30,$ por lo que ninguna deuda positiva menor funciona.

Una deuda de $\$30$ es alcanzable ya que $30 = 300(-2) + 210(3),$ es decir, se entregan $3$ cabras y se reciben $2$ cerdos de cambio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A debt $D$ is resolvable if and only if $D = 300p + 210g$ $= 30(10p + 7g)$ for integers $p, g.$ Thus $D$ is a multiple of $\gcd(300, 210) = 30,$ so no smaller positive debt works.

A debt of $\$30$ is achievable since $30 = 300(-2) + 210(3),$ i.e. give $3$ goats and receive $2$ pigs in change.

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años