1989 AMC 12 Problema 14

Intenta el Problema 14 del 1989 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1989 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

$\cot10+\tan5=$

$\csc5$

$\csc10$

$\sec5$

$\sec10$

$\sin15$

Respuesta: B

Conceptos:trigonometría manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Reescribe ambos términos con seno y coseno

Rewrite both terms using sine and cosine

Pista grande:

Usa $\sin10=2\sin5\cos5$ y $\cos10=\cos^25-\sin^25$

Use $\sin10=2\sin5\cos5$ and $\cos10=\cos^25-\sin^25$

Solución:

Usando $\sin10=2\sin5\cos5,$ $\begin{aligned} \cot10+\tan5 &=\frac{\cos10}{\sin10}\\ &\quad+\frac{\sin5}{\cos5}. \end{aligned}$ El numerador común es $\cos10+2\sin^25.$ Como $\cos10=\cos^25-\sin^25,$ este numerador es $1,$ y la expresión es $\csc10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using $\sin10=2\sin5\cos5,$ $\begin{aligned} \cot10+\tan5 &=\frac{\cos10}{\sin10}\\ &\quad+\frac{\sin5}{\cos5}. \end{aligned}$ Combining the fractions gives numerator $\cos10+2\sin^25.$ Since $\cos10=\cos^25-\sin^25,$ this numerator is $1,$ and the expression is $\csc10.$

Thus the correct answer is B.

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