Question

Exactamente tres de los ángulos interiores de un polígono convexo son obtusos. ¿Cuál es la cantidad máxima de lados de tal polígono?

Exactly three of the interior angles of a convex polygon are obtuse. What is the maximum number of sides of such a polygon?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:suma de ángulos argumento extremal desigualdad

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Acota los tres ángulos obtusos por $180^\circ$ y cada otro ángulo por $90^\circ$

Bound the three obtuse angles by $180^\circ$ and every other angle by $90^\circ$

Pista grande:

Compara esa cota superior con la suma de ángulos interiores $(n-2)180^\circ$

Compare that upper bound with the interior-angle sum $(n-2)180^\circ$

Solución:

Para un $n$ -gono, los tres ángulos obtusos suman menos de $3\cdot180^\circ,$ mientras que los otros $n-3$ ángulos suman a lo sumo $(n-3)90^\circ.$ Por tanto, $\begin{aligned} (n-2)180^\circ &\lt3(180^\circ)\\ &\quad{}+(n-3)90^\circ, \end{aligned}$ lo que se simplifica a $n\lt7.$ Seis lados son posibles, por ejemplo, con ángulos interiores $150^\circ,$ $150^\circ,$ $150^\circ,$ $90^\circ,$ $90^\circ,$ y $90^\circ.$ Así, el máximo es $6.$

La respuesta correcta es C.

For an $n$ -gon, the three obtuse angles have total less than $3\cdot180^\circ,$ while the other $n-3$ angles have total at most $(n-3)90^\circ.$ Hence $\begin{aligned} (n-2)180^\circ &\lt3(180^\circ)\\ &\quad{}+(n-3)90^\circ, \end{aligned}$ which simplifies to $n\lt7.$ Six sides are attainable, for example with interior angles $150^\circ,$ $150^\circ,$ $150^\circ,$ $90^\circ,$ $90^\circ,$ and $90^\circ.$ Thus the maximum is $6.$

Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 Problema 14

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años