Question

En el rectángulo $ABCD,$ $AB = 5$ y $BC = 3.$ Los puntos $F$ y $G$ están en $\overline{CD}$ de modo que $DF = 1$ y $GC = 2.$ Las rectas $AF$ y $BG$ se cortan en $E.$ Halla el área de $\triangle AEB.$

In rectangle $ABCD,$ $AB = 5$ and $BC = 3.$ Points $F$ and $G$ are on $\overline{CD}$ so that $DF = 1$ and $GC = 2.$ Lines $AF$ and $BG$ intersect at $E.$ Find the area of $\triangle AEB.$

$10$

$\dfrac{21}{2}$

$12$

$\dfrac{25}{2}$

$15$

Solución:

Como $FG = 5 - 1 - 2 = 2$ y $\overline{FG} \parallel \overline{AB},$ los triángulos $FEG$ y $AEB$ son semejantes con razón $\dfrac{FG}{AB} = \dfrac{2}{5}.$

Sea $k$ la distancia de $E$ a la recta $CD.$ Entonces la distancia de $E$ a $AB$ es $k + 3,$ y $\frac{k}{k + 3} = \frac{2}{5},$ lo que da $k = 2.$

La altura de $\triangle AEB$ es $k + 3 = 5,$ así que su área es $\frac{1}{2}(5)(5) = \frac{25}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $FG = 5 - 1 - 2 = 2$ and $\overline{FG} \parallel \overline{AB},$ triangles $FEG$ and $AEB$ are similar with ratio $\dfrac{FG}{AB} = \dfrac{2}{5}.$

Let the distance from $E$ to line $CD$ be $k.$ Then the distance from $E$ to $AB$ is $k + 3,$ and $\frac{k}{k + 3} = \frac{2}{5},$ giving $k = 2.$

The height of $\triangle AEB$ is $k + 3 = 5,$ so its area is $\frac{1}{2}(5)(5) = \frac{25}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años