Question

¿Cuántos residuos distintos pueden resultar cuando la $100$ -ésima potencia de un entero se divide entre $125$ ?

How many different remainders can result when the $100$ th power of an integer is divided by $125?$

$1$

$2$

$5$

$25$

$125$

Respuesta: B

Conceptos:Función φ de Euler exponenciación modular

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Divide en enteros coprimos con $5$ y enteros divisibles entre $5$ .

Split into integers coprime to $5$ and integers divisible by $5$

Pista grande:

Como $\varphi(125) = 100,$ el teorema de Euler da $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}$ cuando $\gcd(n,5)=1;$ un múltiplo de $5$ tiene $n^{100}$ divisible entre $125$ .

Since $\varphi(125) = 100,$ Euler’s theorem gives $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}$ when $\gcd(n,5)=1;$ a multiple of $5$ has $n^{100}$ divisible by $125$

Solución:

Si $n$ es coprimo con $5,$ entonces como $\varphi(125) = 100,$ el teorema de Euler da $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.$ Si $n$ es un múltiplo de $5,$ entonces $n^{100}$ es divisible entre $5^{100},$ y por tanto entre $125,$ dejando residuo $0.$

Así que los únicos residuos posibles son $0$ y $1,$ lo que da $2$ valores distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $n$ is coprime to $5,$ then since $\varphi(125) = 100,$ Euler’s theorem gives $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.$ If $n$ is a multiple of $5,$ then $n^{100}$ is divisible by $5^{100},$ hence by $125,$ leaving remainder $0.$

So the only possible remainders are $0$ and $1,$ which is $2$ distinct values.

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B Problema 14

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años