Question

Una caja rectangular tiene un área superficial total de $94$ pulgadas cuadradas. La suma de las longitudes de todas sus aristas es $48$ pulgadas. ¿Cuál es la suma, en pulgadas, de las longitudes de todas sus diagonales interiores?

A rectangular box has a total surface area of $94$ square inches. The sum of the lengths of all its edges is $48$ inches. What is the sum of the lengths in inches of all of its interior diagonals?

$8\sqrt{3}$

$10\sqrt{2}$

$16\sqrt{3}$

$20\sqrt{2}$

$40\sqrt{2}$

Solución:

Sean las aristas $x, y, z.$ Entonces $xy+yz+zx = 47$ y $x+y+z = 12.$ Por lo tanto $\begin{gathered} x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 \\ {}- 2(xy+yz+zx) \\ = 144 - 94 \\ = 50. \end{gathered}$

Cada una de las $4$ diagonales interiores tiene longitud $\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt2,$ así que su longitud total es $4 \cdot 5\sqrt2 = 20\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the edges be $x, y, z.$ Then $xy+yz+zx = 47$ and $x+y+z = 12.$ Therefore $\begin{gathered} x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 \\ {}- 2(xy+yz+zx) \\ = 144 - 94 \\ = 50. \end{gathered}$

Each of the $4$ interior diagonals has length $\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt2,$ so their total length is $4 \cdot 5\sqrt2 = 20\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

2014 AMC 12B Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años