Question

¿Cuántos números complejos satisfacen la ecuación $z^5=\overline{z},$ donde $\overline{z}$ es el conjugado del número complejo $z$ ?

How many complex numbers satisfy the equation $z^5=\overline{z},$ where $\overline{z}$ is the conjugate of the complex number $z?$

$2$

$3$

$5$

$6$

$7$

Toma valores absolutos: $|z|^5=|z|,$ así que $|z|=0$ o $|z|=1$

Take absolute values: $|z|^5=|z|,$ so $|z|=0$ or $|z|=1$

Multiplicar por $z$ da $z^6=z\overline{z}=|z|^2;$ trata $z=0$ por separado

Multiplying by $z$ gives $z^6=z\overline{z}=|z|^2;$ handle $z=0$ separately

Tomar módulos da $|z|^5=|z|,$ así que $|z|=0$ o $|z|=1.$ El valor $z=0$ funciona, dando una solución.

Si $|z|=1,$ multiplica la ecuación por $z$ para obtener $z^6=z\overline{z}=|z|^2=1.$ Esto tiene $6$ raíces distintas, todas de módulo $1.$

En total hay $1+6=7$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking magnitudes gives $|z|^5=|z|,$ so $|z|=0$ or $|z|=1.$ The value $z=0$ works, giving one solution.

If $|z|=1,$ multiply the equation by $z$ to get $z^6=z\overline{z}=|z|^2=1.$ This has $6$ distinct roots, all of modulus $1.$

Altogether there are $1+6=7$ solutions.

Thus, the correct answer is E.