Question

¿Cuál es el área de la región definida por la desigualdad $|3x - 18| + |2y + 7| \le 3$ ?

What is the area of the region defined by the inequality $|3x - 18| + |2y + 7| \le 3?$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$\dfrac{9}{2}$

$5$

Solución:

La región es un rombo centrado en $\left(6, -\tfrac{7}{2}\right).$ Poner $2y + 7 = 0$ da $|3x - 18| \le 3,$ así que $x \in [5, 7],$ una diagonal horizontal de longitud $2.$

Poner $3x - 18 = 0$ da $|2y + 7| \le 3,$ así que $y \in [-5, -2],$ una diagonal vertical de longitud $3.$

El área del rombo es la mitad del producto de sus diagonales, $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The region is a rhombus centered at $\left(6, -\tfrac{7}{2}\right).$ Setting $2y + 7 = 0$ gives $|3x - 18| \le 3,$ so $x \in [5, 7],$ a horizontal diagonal of length $2.$

Setting $3x - 18 = 0$ gives $|2y + 7| \le 3,$ so $y \in [-5, -2],$ a vertical diagonal of length $3.$

The area of the rhombus is half the product of its diagonals, $\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3.$

Thus, A is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años