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2008 AMC 12A Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2008 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Los puntos AA y BB están en un círculo centrado en O,O, y ∠AOB=60∘.\angle AOB = 60^\circ. Un segundo círculo es tangente internamente al primero y tangente a OAOA y OB.OB. ¿Cuál es la razón entre el área del círculo menor y la del círculo mayor?

Points AA and BB lie on a circle centered at O,O, and ∠AOB=60∘.\angle AOB = 60^\circ. A second circle is internally tangent to the first and tangent to both OAOA and OB.OB. What is the ratio of the area of the smaller circle to that of the larger circle?

116\dfrac{1}{16}

19\dfrac{1}{9}

18\dfrac{1}{8}

16\dfrac{1}{6}

14\dfrac{1}{4}

Respuesta: B
Conceptos:circunferencias tangentestriángulo rectángulo especialrazón de áreas
Nivel de dificultad: 1620
Pista pequeña:

El centro del círculo pequeño está en la bisectriz de ∠AOB\angle AOB.

The center of the small circle lies on the bisector of ∠AOB\angle AOB

Pista grande:

Trazar un radio perpendicular a OAOA forma un triángulo 3030-6060-9090 en el que OE=2rOE = 2r.

Dropping a radius to OAOA makes a 3030-6060-9090 triangle in which OE=2rOE = 2r

Solución:

Sean rr y RR los radios de los círculos menor y mayor, y sea EE el centro del círculo menor. Por simetría EE está en la bisectriz de ∠AOB,\angle AOB, así que OEOE forma un ángulo de 30∘30^\circ con OA.OA.

Trazar el radio EDED perpendicular a OAOA da un triángulo 3030-6060-9090 con OE=2⋅ED=2r.OE = 2 \cdot ED = 2r. Como los círculos son tangentes internamente, OE=R−r.OE = R - r.

Entonces R−r=2r,R - r = 2r, así que R=3rR = 3r y rR=13.\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}. La razón de áreas es (13)2=19. \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let rr and RR be the radii of the smaller and larger circles, and let EE be the center of the smaller circle. By symmetry EE lies on the bisector of ∠AOB,\angle AOB, so OEOE makes a 30∘30^\circ angle with OA.OA.

Dropping the radius EDED perpendicular to OAOA gives a 3030-6060-9090 triangle with OE=2⋅ED=2r.OE = 2 \cdot ED = 2r. Since the circles are internally tangent, OE=R−r.OE = R - r.

Then R−r=2r,R - r = 2r, so R=3rR = 3r and rR=13.\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}. The ratio of areas is (13)2=19. \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.

Thus, B is the correct answer.

Problema 12#12
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Problema 14#14

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