Question

Los puntos $A$ y $B$ están en un círculo centrado en $O,$ y $\angle AOB = 60^\circ.$ Un segundo círculo es tangente internamente al primero y tangente a $OA$ y $OB.$ ¿Cuál es la razón entre el área del círculo menor y la del círculo mayor?

Points $A$ and $B$ lie on a circle centered at $O,$ and $\angle AOB = 60^\circ.$ A second circle is internally tangent to the first and tangent to both $OA$ and $OB.$ What is the ratio of the area of the smaller circle to that of the larger circle?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Solución:

Sean $r$ y $R$ los radios de los círculos menor y mayor, y sea $E$ el centro del círculo menor. Por simetría $E$ está en la bisectriz de $\angle AOB,$ así que $OE$ forma un ángulo de $30^\circ$ con $OA.$

Trazar el radio $ED$ perpendicular a $OA$ da un triángulo $30$ - $60$ - $90$ con $OE = 2 \cdot ED = 2r.$ Como los círculos son tangentes internamente, $OE = R - r.$

Entonces $R - r = 2r,$ así que $R = 3r$ y $\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}.$ La razón de áreas es $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $r$ and $R$ be the radii of the smaller and larger circles, and let $E$ be the center of the smaller circle. By symmetry $E$ lies on the bisector of $\angle AOB,$ so $OE$ makes a $30^\circ$ angle with $OA.$

Dropping the radius $ED$ perpendicular to $OA$ gives a $30$ - $60$ - $90$ triangle with $OE = 2 \cdot ED = 2r.$ Since the circles are internally tangent, $OE = R - r.$

Then $R - r = 2r,$ so $R = 3r$ and $\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}.$ The ratio of areas is $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Thus, B is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años