Question

Alice y Bob viven a $10$ millas de distancia. Un día, Alice mira hacia el norte desde su casa y ve un avión. Al mismo tiempo, Bob mira hacia el oeste desde su casa y ve el mismo avión. El ángulo de elevación del avión es $30^\circ$ desde la posición de Alice y $60^\circ$ desde la posición de Bob. ¿Cuál de las siguientes opciones se aproxima más a la altura del avión, en millas?

Alice and Bob live $10$ miles apart. One day Alice looks due north from her house and sees an airplane. At the same time Bob looks due west from his house and sees the same airplane. The angle of elevation of the airplane is $30^\circ$ from Alice's position and $60^\circ$ from Bob's position. Which of the following is closest to the airplane's altitude, in miles?

$3.5$

$4$

$4.5$

$5$

$5.5$

Solución:

Supón que el avión está en $C,$ directamente sobre el punto $D$ del suelo, a una altura $h.$ Los triángulos $ACD$ y $BCD$ son triángulos rectángulos $30$ - $60$ - $90$ , así que $AD=\sqrt3\,h$ y $BD=\dfrac{h}{\sqrt3}.$ Como Alice mira al norte y Bob mira al oeste, $\angle ADB=90^\circ,$ así que $AD^2+BD^2=AB^2=100.$ Entonces $3h^2+\dfrac{h^2}{3}=\dfrac{10h^2}{3}=100,$ lo que da $h=\sqrt{30}\approx5.48,$ el más cercano a $5.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the airplane be at $C,$ directly above point $D$ on the ground at altitude $h.$ Triangles $ACD$ and $BCD$ are $30$ - $60$ - $90$ right triangles, so $AD=\sqrt3\,h$ and $BD=\dfrac{h}{\sqrt3}.$ Since Alice looks north and Bob looks west, $\angle ADB=90^\circ,$ so $AD^2+BD^2=AB^2=100.$ Then $3h^2+\dfrac{h^2}{3}=\dfrac{10h^2}{3}=100,$ giving $h=\sqrt{30}\approx5.48,$ closest to $5.5.$

Thus, the correct answer is E.

2016 AMC 12B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años