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2016 AMC 12B Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2016 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2016 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Alice y Bob viven a 1010 millas de distancia. Un día, Alice mira hacia el norte desde su casa y ve un avión. Al mismo tiempo, Bob mira hacia el oeste desde su casa y ve el mismo avión. El ángulo de elevación del avión es 30∘30^\circ desde la posición de Alice y 60∘60^\circ desde la posición de Bob. ¿Cuál de las siguientes opciones se aproxima más a la altura del avión, en millas?

Alice and Bob live 1010 miles apart. One day Alice looks due north from her house and sees an airplane. At the same time Bob looks due west from his house and sees the same airplane. The angle of elevation of the airplane is 30∘30^\circ from Alice’s position and 60∘60^\circ from Bob’s position. Which of the following is closest to the airplane’s altitude, in miles?

3.53.5

44

4.54.5

55

5.55.5

Respuesta: E
Conceptos:triángulo rectángulo especialTeorema de PitágorasGeometría 3D
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:

Supón que el avión está sobre el punto DD del suelo a una altura h.h. Los triángulos ACDACD y BCDBCD son triángulos rectángulos 3030-6060-9090.

Let the plane be above point DD on the ground at height h.h. Triangles ACDACD and BCDBCD are 3030-6060-9090 right triangles

Pista grande:

AD=3 hAD=\sqrt3\,h y BD=h3;BD=\dfrac{h}{\sqrt3}; entonces AD2+BD2=102AD^2+BD^2=10^2.

AD=3 hAD=\sqrt3\,h and BD=h3;BD=\dfrac{h}{\sqrt3}; then AD2+BD2=102AD^2+BD^2=10^2

Solución:

Supón que el avión está en C,C, directamente sobre el punto DD del suelo, a una altura h.h. Los triángulos ACDACD y BCDBCD son triángulos rectángulos 3030-6060-9090, así que AD=3 hAD=\sqrt3\,h y BD=h3.BD=\dfrac{h}{\sqrt3}. Como Alice mira al norte y Bob mira al oeste, ∠ADB=90∘,\angle ADB=90^\circ, así que AD2+BD2=AB2=100.AD^2+BD^2=AB^2=100. Entonces 3h2+h23=10h23=100,3h^2+\dfrac{h^2}{3}=\dfrac{10h^2}{3}=100, lo que da h=30≈5.48,h=\sqrt{30}\approx5.48, el más cercano a 5.5.5.5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the airplane be at C,C, directly above point DD on the ground at altitude h.h. Triangles ACDACD and BCDBCD are 3030-6060-9090 right triangles, so AD=3 hAD=\sqrt3\,h and BD=h3.BD=\dfrac{h}{\sqrt3}. Since Alice looks north and Bob looks west, ∠ADB=90∘,\angle ADB=90^\circ, so AD2+BD2=AB2=100.AD^2+BD^2=AB^2=100. Then 3h2+h23=10h23=100,3h^2+\dfrac{h^2}{3}=\dfrac{10h^2}{3}=100, giving h=30≈5.48,h=\sqrt{30}\approx5.48, closest to 5.5.5.5.

Thus, the correct answer is E.

Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

El Problema 13 en otros años

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