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2010 AMC 12B Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2010 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

En △ABC,\triangle ABC, cos⁡(2A−B)+sin⁡(A+B)=2\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2 y AB=4.AB=4. ¿Cuánto vale BCBC?
In △ABC,\triangle ABC, cos⁡(2A−B)+sin⁡(A+B)=2\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2 and AB=4.AB=4. What is BC?BC?
2\sqrt{2}
3\sqrt{3}
22
222\sqrt{2}
232\sqrt{3}
Respuesta: C
Conceptos:trigonometríatriángulo rectángulo especialacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1560
Pista pequeña:
Tanto un coseno como un seno son a lo sumo 1,1, así que cada uno debe ser igual a 11
Both a cosine and a sine are at most 1,1, so each must equal 11
Pista grande:
Resuelve 2A−B=0∘2A-B=0^\circ y A+B=90∘A+B=90^\circ para identificar el triángulo
Solve 2A−B=0∘2A-B=0^\circ and A+B=90∘A+B=90^\circ to identify the triangle
Solución:
Un coseno más un seno es igual a 22 solo cuando cada uno es igual a 1.1. Así que cos⁡(2A−B)=1\cos(2A-B)=1 y sin⁡(A+B)=1,\sin(A+B)=1, dando 2A−B=0∘2A-B=0^\circ y A+B=90∘.A+B=90^\circ.
Resolviendo, A=30∘A=30^\circ y B=60∘,B=60^\circ, así que △ABC\triangle ABC es un triángulo rectángulo 30-60-9030\text{-}60\text{-}90 con el ángulo recto en C.C.
Con hipotenusa AB=4,AB=4, el lado BCBC opuesto al ángulo 30∘30^\circ es la mitad de la hipotenusa, así que BC=2.BC=2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
A cosine plus a sine equals 22 only when each equals 1.1. So cos⁡(2A−B)=1\cos(2A-B)=1 and sin⁡(A+B)=1,\sin(A+B)=1, giving 2A−B=0∘2A-B=0^\circ and A+B=90∘.A+B=90^\circ.
Solving, A=30∘A=30^\circ and B=60∘,B=60^\circ, so △ABC\triangle ABC is a 30-60-9030\text{-}60\text{-}90 right triangle with the right angle at C.C.
With hypotenuse AB=4,AB=4, the side BCBC opposite the 30∘30^\circ angle is half the hypotenuse, so BC=2.BC=2.
Thus, the correct answer is C.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

El Problema 13 en otros años

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