Question

En $\triangle ABC,$ $\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2$ y $AB=4.$ ¿Cuánto vale $BC$ ?

In $\triangle ABC,$ $\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2$ and $AB=4.$ What is $BC?$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

Solución:

Un coseno más un seno es igual a $2$ solo cuando cada uno es igual a $1.$ Así que $\cos(2A-B)=1$ y $\sin(A+B)=1,$ dando $2A-B=0^\circ$ y $A+B=90^\circ.$

Resolviendo, $A=30^\circ$ y $B=60^\circ,$ así que $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo $30\text{-}60\text{-}90$ con el ángulo recto en $C.$

Con hipotenusa $AB=4,$ el lado $BC$ opuesto al ángulo $30^\circ$ es la mitad de la hipotenusa, así que $BC=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A cosine plus a sine equals $2$ only when each equals $1.$ So $\cos(2A-B)=1$ and $\sin(A+B)=1,$ giving $2A-B=0^\circ$ and $A+B=90^\circ.$

Solving, $A=30^\circ$ and $B=60^\circ,$ so $\triangle ABC$ is a $30\text{-}60\text{-}90$ right triangle with the right angle at $C.$

With hypotenuse $AB=4,$ the side $BC$ opposite the $30^\circ$ angle is half the hypotenuse, so $BC=2.$

Thus, the correct answer is C.

2010 AMC 12B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años