Question

De los siguientes números complejos $z$ , ¿cuál tiene la propiedad de que $z^5$ tiene la mayor parte real?

Of the following complex numbers $z,$ which one has the property that $z^5$ has the greatest real part?

$-2$

$-\sqrt3 + i$

$-\sqrt2 + \sqrt2\, i$

$-1 + \sqrt3\, i$

$2i$

Solución:

Cada número listado tiene módulo $2$ , así que $z^5$ tiene módulo $32$ , y su parte real es $32\cos(5\theta)$ , donde $\theta$ es el argumento de $z$ . Los argumentos son $180^\circ$ , $150^\circ$ , $135^\circ$ , $120^\circ$ , y $90^\circ$ .

Multiplicar por $5$ da $900^\circ \equiv 180^\circ$ , $750^\circ \equiv 30^\circ$ , $675^\circ \equiv 315^\circ$ , $600^\circ \equiv 240^\circ$ , y $450^\circ \equiv 90^\circ$ . El coseno más grande es $\cos 30^\circ$ , de $z = -\sqrt3 + i$ , lo que da parte real $16\sqrt3$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each listed number has modulus $2,$ so $z^5$ has modulus $32,$ and its real part is $32\cos(5\theta),$ where $\theta$ is the argument of $z.$ The arguments are $180^\circ,$ $150^\circ,$ $135^\circ,$ $120^\circ,$ and $90^\circ.$

Multiplying by $5$ gives $900^\circ \equiv 180^\circ,$ $750^\circ \equiv 30^\circ,$ $675^\circ \equiv 315^\circ,$ $600^\circ \equiv 240^\circ,$ and $450^\circ \equiv 90^\circ.$ The largest cosine is $\cos 30^\circ,$ from $z = -\sqrt3 + i,$ giving real part $16\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Spring Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años