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2006 AMC 12B Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2006 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2006 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

El rombo ABCDABCD es semejante al rombo BFDE.BFDE. El área del rombo ABCDABCD es 24,24, y ∠BAD=60∘.\angle BAD = 60^\circ. ¿Cuál es el área del rombo BFDEBFDE?

Rhombus ABCDABCD is similar to rhombus BFDE.BFDE. The area of rhombus ABCDABCD is 24,24, and ∠BAD=60∘.\angle BAD = 60^\circ. What is the area of rhombus BFDE?BFDE?

66

434\sqrt{3}

88

99

636\sqrt{3}

Respuesta: C
Conceptos:rombotriángulo equiláterodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:

Como ∠BAD=60∘,\angle BAD = 60^\circ, el triángulo ABDABD es equilátero, así que BDBD es igual a un lado.

Since ∠BAD=60∘,\angle BAD = 60^\circ, triangle ABDABD is equilateral, so BDBD equals a side

Pista grande:

Si las diagonales se cortan en O,O, entonces △ABO\triangle ABO es un triángulo 30∘30^\circ–60∘60^\circ–90∘90^\circ; compara las diagonales larga y corta

If the diagonals meet at O,O, then △ABO\triangle ABO is a 30∘30^\circ–60∘60^\circ–90∘90^\circ triangle; compare the long and short diagonals

Solución:

Sean OO el punto de intersección de las diagonales de ABCD.ABCD. Estas se bisecan perpendicularmente y, como ∠BAD=60∘,\angle BAD=60^\circ, el triángulo ABOABO es un triángulo de 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ. Por tanto, las semidiagonales satisfacen AO=3 BO.AO=\sqrt3\,BO.

El segmento BDBD es la diagonal corta de ABCDABCD y la diagonal larga del rombo semejante BFDE.BFDE. Así, la razón de longitudes del rombo menor al mayor es BDAC=BOAO=13.\frac{BD}{AC}=\frac{BO}{AO}=\frac{1}{\sqrt3}. Las áreas se escalan con el cuadrado de esta razón, de modo que el área de BFDEBFDE es 24⋅13=8.24\cdot\dfrac13=8.

Así, la respuesta correcta es C.

Let the diagonals of ABCDABCD meet at O.O. They bisect each other at right angles, and since ∠BAD=60∘,\angle BAD=60^\circ, triangle ABOABO is a 30∘30^\circ–60∘60^\circ–90∘90^\circ triangle. Hence the half-diagonals satisfy AO=3 BO.AO=\sqrt3\,BO.

The segment BDBD is the short diagonal of ABCDABCD and the long diagonal of the similar rhombus BFDE.BFDE. Thus the smaller-to-larger length ratio is BDAC=BOAO=13.\frac{BD}{AC}=\frac{BO}{AO}=\frac{1}{\sqrt3}. Areas scale by the square of this ratio, so the area of BFDEBFDE is 24⋅13=8.24\cdot\dfrac13=8.

Thus, the correct answer is C.

Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

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