Question

Se define la operación binaria $*$ mediante $a*b=a^b$ para todos los números positivos $a$ y $b.$ Entonces, para todos los $a,$ $b,$ $c,$ $n$ positivos, se cumple:

Given the binary operation $*$ defined by $a*b=a^b$ for all positive numbers $a$ and $b.$ Then for all positive $a,$ $b,$ $c,$ $n,$ we have:

$a*b=b*a$

$a*(b*c)=(a*b)*c$

$a*(b^n)=(a*n)*b$

$(a*b)^n=a*(bn)$

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: D

Conceptos:operación personalizada exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Sustituye cada $*$ según la definición antes de comparar ambos lados

Replace every $*$ using the definition before comparing the two sides

Pista grande:

En la opción D, ambos lados se simplifican a una potencia con exponente $bn$

For choice D, both sides simplify to a power with exponent $bn$

Solución:

Para la opción D, $\begin{aligned} (a*b)^n&=(a^b)^n=a^{bn},\\ a*(bn)&=a^{bn}. \end{aligned}$ Por lo tanto, esa identidad siempre se cumple. Las otras opciones afirmarían identidades generales falsas, como $a^b=b^a$ o $a^{b^c}=a^{bc}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For choice D, $\begin{aligned} (a*b)^n&=(a^b)^n=a^{bn},\\ a*(bn)&=a^{bn}. \end{aligned}$ Thus that identity always holds. The other choices would assert false general identities such as $a^b=b^a$ or $a^{b^c}=a^{bc}.$

Therefore, the correct answer is D.

1970 AMC 12 Problema 13

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años