Soluciones del 1970 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La cuarta potencia de $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt1}}$ es:

The fourth power of $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt1}}$ is:

$\sqrt2+\sqrt3$

$\tfrac12(7+3\sqrt5)$

$1+2\sqrt3$

$3$

$3+2\sqrt2$

Conceptos:radical exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Simplifica desde el radical más interno hacia afuera

Simplify from the innermost radical outward

Pista grande:

Después de que el radical más interno se convierte en $1,$ eleva $\sqrt{1+\sqrt2}$ al cuadrado dos veces

After the innermost radical becomes $1,$ square $\sqrt{1+\sqrt2}$ twice

Solución:

El radical más interno es $\sqrt1=1,$ así que el número dado es $\sqrt{1+\sqrt2}.$ Su cuarta potencia es $\begin{aligned} (1+\sqrt2)^2&=1+2\sqrt2+2\\ &=3+2\sqrt2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The innermost radical is $\sqrt1=1,$ so the given number is $\sqrt{1+\sqrt2}.$ Its fourth power is $\begin{aligned} (1+\sqrt2)^2&=1+2\sqrt2+2\\ &=3+2\sqrt2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

2.

Un cuadrado y un círculo tienen perímetros iguales. La razón entre el área del círculo y el área del cuadrado es:

A square and a circle have equal perimeters. The ratio of the area of the circle to the area of the square is:

$\frac{4}{\pi}$

$\frac{\pi}{\sqrt2}$

$\frac{4}{1}$

$\frac{\sqrt2}{\pi}$

$\frac{\pi}{4}$

Conceptos:área del círculo circunferencia razón de áreas cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Sea $p$ el perímetro común

Let the common perimeter be $p$

Pista grande:

Expresa el radio del círculo y el lado del cuadrado en función de $p$ , y luego divide sus áreas

Express the circle radius and square side in terms of $p$ , then divide their areas

Solución:

Si el perímetro común es $p,$ entonces el círculo tiene radio $\frac{p}{2\pi}$ y el cuadrado tiene lado $\frac{p}{4}.$ Por lo tanto, $\frac{\pi\left(\frac{p}{2\pi}\right)^2}{\left(\frac p4\right)^2} =\frac{\frac{p^2}{4\pi}}{\frac{p^2}{16}}=\frac4\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the common perimeter is $p,$ then the circle has radius $\frac{p}{2\pi}$ and the square has side $\frac{p}{4}.$ Therefore $\frac{\pi\left(\frac{p}{2\pi}\right)^2}{\left(\frac p4\right)^2} =\frac{\frac{p^2}{4\pi}}{\frac{p^2}{16}}=\frac4\pi.$

Therefore, the correct answer is A.

3.

Si $x=1+2^p$ y $y=1+2^{-p},$ entonces $y$ en función de $x$ es:

If $x=1+2^p$ and $y=1+2^{-p},$ then $y$ in terms of $x$ is:

$\dfrac{x+1}{x-1}$

$\dfrac{x+2}{x-1}$

$\dfrac{x}{x-1}$

$2-x$

$\dfrac{x-1}{x}$

Conceptos:exponente sustitución ecuación racional

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Despeja $2^p$ en la primera ecuación

Solve the first equation for $2^p$

Pista grande:

Usa $2^{-p}=\frac{1}{2^p}$ y simplifica $1+\frac{1}{x-1}$

Use $2^{-p}=\frac{1}{2^p}$ and simplify $1+\frac{1}{x-1}$

Solución:

De $x=1+2^p$ obtenemos $2^p=x-1,$ así que $\begin{aligned} y&=1+2^{-p}\\ &=1+\frac1{x-1}=\frac{x}{x-1}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From $x=1+2^p$ we get $2^p=x-1,$ so $\begin{aligned} y&=1+2^{-p}\\ &=1+\frac1{x-1}=\frac{x}{x-1}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

4.

Sea $S$ el conjunto de todos los números que son la suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos. Entonces podemos afirmar que:

Let $S$ be the set of all numbers which are the sum of the squares of three consecutive integers. Then we can say that:

Ningún elemento de $S$ es divisible por $2$

No member of $S$ is divisible by $2$

Ningún elemento de $S$ es divisible por $3$ , pero algún elemento es divisible por $11$

No member of $S$ is divisible by $3$ but some member is divisible by $11$

Ningún elemento de $S$ es divisible por $3$ ni por $5$

No member of $S$ is divisible by $3$ or by $5$

Ningún elemento de $S$ es divisible por $3$ ni por $7$

No member of $S$ is divisible by $3$ or by $7$

Ninguna de las anteriores

None of these

Conceptos:aritmética modular divisibilidad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Escribe los enteros como $n-1,n,n+1$

Write the integers as $n-1,n,n+1$

Pista grande:

La suma de sus cuadrados es $3n^2+2;$ examínala módulo $3$ y prueba un residuo módulo $11$

Their squared sum is $3n^2+2;$ examine it modulo $3$ and test a residue modulo $11$

Solución:

La suma es $\begin{gathered} (n-1)^2+n^2+(n+1)^2\\ =3n^2+2. \end{gathered}$ Siempre es congruente con $2\pmod3,$ así que ningún elemento de $S$ es divisible por $3.$ Por otro lado, al tomar $n=5$ obtenemos $3(25)+2=77,$ que es divisible por $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The sum is $\begin{gathered} (n-1)^2+n^2+(n+1)^2\\ =3n^2+2. \end{gathered}$ It is always congruent to $2\pmod3,$ so no member of $S$ is divisible by $3.$ On the other hand, taking $n=5$ gives $3(25)+2=77,$ which is divisible by $11.$

Therefore, the correct answer is B.

5.

Si $f(x)=\dfrac{x^4+x^2}{x+1},$ entonces $f(i),$ donde $i=\sqrt{-1},$ es igual a:

If $f(x)=\dfrac{x^4+x^2}{x+1},$ then $f(i),$ where $i=\sqrt{-1},$ is equal to:

$1+i$

$1$

$-1$

$0$

$-1-i$

Conceptos:número complejo exponente función

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Usa $i^2=-1$ y $i^4=1$

Use $i^2=-1$ and $i^4=1$

Pista grande:

El numerador se anula, pero el denominador no

The numerator vanishes while the denominator does not

Solución:

Como $i^2=-1$ e $i^4=1,$ $f(i)=\frac{i^4+i^2}{i+1}=\frac{1-1}{i+1}=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $i^2=-1$ and $i^4=1,$ $f(i)=\frac{i^4+i^2}{i+1}=\frac{1-1}{i+1}=0.$

Therefore, the correct answer is D.

6.

El valor mínimo de $x^2+8x$ para valores reales de $x$ es:

The smallest value of $x^2+8x$ for real values of $x$ is:

$-16.25$

$-16$

$-15$

$-8$

Ninguna de las anteriores

None of these

Conceptos:completar el cuadrado cuadrática desigualdad

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Completa el cuadrado

Complete the square

Pista grande:

Reescribe la expresión como $(x+4)^2-16$

Rewrite the expression as $(x+4)^2-16$

Solución:

Al completar el cuadrado obtenemos $x^2+8x=(x+4)^2-16.$ Como $(x+4)^2\ge0,$ el mínimo se alcanza en $x=-4$ y es igual a $-16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Completing the square gives $x^2+8x=(x+4)^2-16.$ Since $(x+4)^2\ge0,$ the minimum occurs at $x=-4$ and equals $-16.$

Therefore, the correct answer is B.

7.

Dentro del cuadrado $ABCD$ de lado $s,$ se trazan arcos de un cuarto de círculo de radio $s$ con centros en $A$ y $B.$ Estos arcos se cortan en un punto $X$ dentro del cuadrado. ¿A qué distancia está $X$ del lado $CD$ ?

Inside square $ABCD$ with side $s,$ quarter-circle arcs with radii $s$ and centers at $A$ and $B$ are drawn. These arcs intersect at a point $X$ inside the square. How far is $X$ from side $CD?$

$\tfrac12s(\sqrt3+4)$

$\tfrac12s\sqrt3$

$\tfrac12s(1+\sqrt3)$

$\tfrac12s(\sqrt3-1)$

$\tfrac12s(2-\sqrt3)$

Conceptos:triángulo equilátero altura cuadrado (geometría)círculo

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Los dos radios que llegan a $X$ y el lado $AB$ forman un triángulo equilátero

The two radii to $X$ and side $AB$ form an equilateral triangle

Pista grande:

La altura desde $X$ hasta $AB$ es $\frac{s\sqrt3}{2}$ ; réstala de la altura del cuadrado

The altitude from $X$ to $AB$ is $\frac{s\sqrt3}{2}$ ; subtract it from the square’s height

Solución:

Como $AX=BX=AB=s,$ el triángulo $ABX$ es equilátero. Por lo tanto, la distancia perpendicular de $X$ a $AB$ es $\frac{s\sqrt3}{2}.$ La distancia entre los lados paralelos $AB$ y $CD$ es $s,$ así que la distancia pedida es $s-\frac{s\sqrt3}{2}=\frac s2(2-\sqrt3).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $AX=BX=AB=s,$ triangle $ABX$ is equilateral. Thus the perpendicular distance from $X$ to $AB$ is $\frac{s\sqrt3}{2}.$ The distance between the parallel sides $AB$ and $CD$ is $s,$ so the requested distance is $s-\frac{s\sqrt3}{2}=\frac s2(2-\sqrt3).$

Therefore, the correct answer is E.

8.

Si $a=\log_8 225$ y $b=\log_2 15,$ entonces:

If $a=\log_8 225$ and $b=\log_2 15,$ then:

$a=\frac{b}{2}$

$a=\frac{2b}{3}$

$a=b$

$b=\frac{a}{2}$

$a=\frac{3b}{2}$

Conceptos:logaritmo exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Reescribe $225$ como $15^2$ y $8$ como $2^3$

Rewrite $225$ as $15^2$ and $8$ as $2^3$

Pista grande:

Convierte ambos logaritmos a base $2$

Convert both logarithms to base $2$

Solución:

Usando $225=15^2$ y $8=2^3,$ $\begin{aligned} a&=\frac{\log_2(15^2)}{\log_2(2^3)}\\ &=\frac{2\log_2 15}{3}=\frac{2b}{3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using $225=15^2$ and $8=2^3,$ $\begin{aligned} a&=\frac{\log_2(15^2)}{\log_2(2^3)}\\ &=\frac{2\log_2 15}{3}=\frac{2b}{3}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

9.

Los puntos $P$ y $Q$ están en el segmento $AB,$ y ambos se encuentran al mismo lado del punto medio de $AB.$ El punto $P$ divide $AB$ en la razón $2:3,$ y $Q$ divide $AB$ en la razón $3:4.$ Si $PQ=2,$ entonces la longitud del segmento $AB$ es:

Points $P$ and $Q$ are on line segment $AB,$ and both points are on the same side of the midpoint of $AB.$ Point $P$ divides $AB$ in the ratio $2:3,$ and $Q$ divides $AB$ in the ratio $3:4.$ If $PQ=2,$ then the length of segment $AB$ is:

$12$

$28$

$70$

$75$

$105$

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Expresa $AP$ y $AQ$ como fracciones de $AB$

Express $AP$ and $AQ$ as fractions of $AB$

Pista grande:

Usa $AP=\frac{2AB}{5}$ y $AQ=\frac{3AB}{7}$ , y luego resta

Use $AP=\frac{2AB}{5}$ and $AQ=\frac{3AB}{7}$ , then subtract

Solución:

Las razones de división dan $AP=\frac25AB,\qquad AQ=\frac37AB.$ Como los dos puntos están al mismo lado del punto medio, $\begin{aligned} PQ&=AQ-AP\\ &=\left(\frac37-\frac25\right)AB\\ &=\frac1{35}AB. \end{aligned}$ Puesto que $PQ=2,$ obtenemos $AB=70.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The division ratios give $AP=\frac25AB,\qquad AQ=\frac37AB.$ Because the two points are on the same side of the midpoint, $\begin{aligned} PQ&=AQ-AP\\ &=\left(\frac37-\frac25\right)AB\\ &=\frac1{35}AB. \end{aligned}$ Since $PQ=2,$ we obtain $AB=70.$

Therefore, the correct answer is C.

10.

Sea $F=0.4818181\ldots$ un decimal periódico infinito en el que se repiten los dígitos $8$ y $1.$ Cuando $F$ se escribe como fracción irreducible, el denominador excede al numerador en:

Let $F=0.4818181\ldots$ be an infinite repeating decimal with the digits $8$ and $1$ repeating. When $F$ is written as a fraction in lowest terms, the denominator exceeds the numerator by:

$13$

$14$

$29$

$57$

$126$

Conceptos:decimal periódico sucesión geométrica fracción

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Separa el $0.4$ inicial de la parte periódica

Separate the initial $0.4$ from the repeating tail

Pista grande:

La parte periódica es $0.081(1+0.01+0.01^2+\cdots)$

The tail is $0.081(1+0.01+0.01^2+\cdots)$

Solución:

Tenemos $\begin{aligned} F&=0.4+0.081(1+0.01+\cdots)\\ &=\frac25+\frac{0.081}{0.99}\\ &=\frac25+\frac9{110}\\ &=\frac{53}{110}. \end{aligned}$ El denominador excede al numerador en $110-53=57.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have $\begin{aligned} F&=0.4+0.081(1+0.01+\cdots)\\ &=\frac25+\frac{0.081}{0.99}\\ &=\frac25+\frac9{110}\\ &=\frac{53}{110}. \end{aligned}$ The denominator exceeds the numerator by $110-53=57.$

Therefore, the correct answer is D.

11.

Si dos factores de $2x^3-hx+k$ son $x+2$ y $x-1,$ el valor de $|2h-3k|$ es:

If two factors of $2x^3-hx+k$ are $x+2$ and $x-1,$ the value of $|2h-3k|$ is:

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

Conceptos:polinomio sustitución sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Aplica el teorema del factor en $x=-2$ y $x=1$

Apply the factor theorem at $x=-2$ and $x=1$

Pista grande:

Resuelve $-16+2h+k=0$ y $2-h+k=0$

Solve $-16+2h+k=0$ and $2-h+k=0$

Solución:

El teorema del factor da $\begin{aligned} -16+2h+k&=0,\\ 2-h+k&=0. \end{aligned}$ Al restar la segunda ecuación de la primera obtenemos $3h=18,$ así que $h=6$ y luego $k=4.$ Por tanto, $|2h-3k|=|12-12|=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factor theorem gives $\begin{aligned} -16+2h+k&=0,\\ 2-h+k&=0. \end{aligned}$ Subtracting the second equation from the first gives $3h=18,$ so $h=6$ and then $k=4.$ Hence $|2h-3k|=|12-12|=0.$

Therefore, the correct answer is E.

12.

Un círculo de radio $r$ es tangente a los lados $AB,$ $AD$ y $CD$ del rectángulo $ABCD$ , y pasa por el punto medio de la diagonal $AC.$ El área del rectángulo, en función de $r,$ es:

A circle with radius $r$ is tangent to sides $AB,$ $AD,$ and $CD$ of rectangle $ABCD$ and passes through the midpoint of diagonal $AC.$ The area of the rectangle, in terms of $r,$ is:

$4r^2$

$6r^2$

$8r^2$

$12r^2$

$20r^2$

Conceptos:rectángulo circunferencias tangentes punto medio área

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

La tangencia a los dos lados opuestos hace que un lado del rectángulo sea igual a $2r$

Tangency to the two opposite sides makes one side of the rectangle equal to $2r$

Pista grande:

La recta desde el tercer punto de tangencia que pasa por el centro biseca la diagonal, de modo que la cuerda correspondiente es un diámetro

The line from the third tangency point through the center bisects the diagonal, making the corresponding chord a diameter

Solución:

El círculo es tangente a los lados paralelos $AB$ y $CD.$ La separación entre ellos es su diámetro, así que $AD=BC=2r.$ Sea $R$ el punto de tangencia sobre $AD,$ sea $Q$ el centro y sea $M$ el punto medio de $AC.$

La recta $RQ$ es paralela a $AB$ y está a mitad de camino entre $AB$ y $CD,$ así que $R$ es el punto medio de $AD$ y la recta contiene a $M.$ Como $M$ está en el círculo y $R,Q,M$ son colineales, $RM=2r.$ Por tanto, $RM$ es un segmento medio del triángulo $ADC,$ de modo que $DC=2RM=4r.$ Entonces el área es $(2r)(4r)=8r^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the circle be tangent to the parallel sides $AB$ and $CD.$ Their separation is its diameter, so $AD=BC=2r.$ Let $R$ be the tangency point on $AD,$ let $Q$ be the center, and let $M$ be the midpoint of $AC.$

The line $RQ$ is parallel to $AB$ and halfway between $AB$ and $CD,$ so $R$ is the midpoint of $AD$ and the line contains $M.$ Since $M$ lies on the circle and $R,Q,M$ are collinear, $RM=2r.$ Thus $RM$ is a midsegment of triangle $ADC,$ so $DC=2RM=4r.$ Therefore the area is $(2r)(4r)=8r^2.$

Therefore, the correct answer is C.

13.

Se define la operación binaria $*$ mediante $a*b=a^b$ para todos los números positivos $a$ y $b.$ Entonces, para todos los $a,$ $b,$ $c,$ $n$ positivos, se cumple:

Given the binary operation $*$ defined by $a*b=a^b$ for all positive numbers $a$ and $b.$ Then for all positive $a,$ $b,$ $c,$ $n,$ we have:

$a*b=b*a$

$a*(b*c)=(a*b)*c$

$a*(b^n)=(a*n)*b$

$(a*b)^n=a*(bn)$

Ninguna de las anteriores

None of these

Conceptos:operación personalizada exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Sustituye cada $*$ según la definición antes de comparar ambos lados

Replace every $*$ using the definition before comparing the two sides

Pista grande:

En la opción D, ambos lados se simplifican a una potencia con exponente $bn$

For choice D, both sides simplify to a power with exponent $bn$

Solución:

Para la opción D, $\begin{aligned} (a*b)^n&=(a^b)^n=a^{bn},\\ a*(bn)&=a^{bn}. \end{aligned}$ Por lo tanto, esa identidad siempre se cumple. Las otras opciones afirmarían identidades generales falsas, como $a^b=b^a$ o $a^{b^c}=a^{bc}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For choice D, $\begin{aligned} (a*b)^n&=(a^b)^n=a^{bn},\\ a*(bn)&=a^{bn}. \end{aligned}$ Thus that identity always holds. The other choices would assert false general identities such as $a^b=b^a$ or $a^{b^c}=a^{bc}.$

Therefore, the correct answer is D.

14.

Considera $x^2+px+q=0,$ donde $p$ y $q$ son números positivos. Si las raíces de esta ecuación difieren en $1,$ entonces $p$ es igual a:

Consider $x^2+px+q=0,$ where $p$ and $q$ are positive numbers. If the roots of this equation differ by $1,$ then $p$ equals:

$\sqrt{4q+1}$

$q-1$

$-\sqrt{4q+1}$

$q+1$

$\sqrt{4q-1}$

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Usa la fórmula cuadrática para expresar la diferencia entre las raíces

Use the quadratic formula to express the difference of the roots

Pista grande:

La magnitud de la diferencia es $\sqrt{p^2-4q}$

The difference has magnitude $\sqrt{p^2-4q}$

Solución:

El valor absoluto de la diferencia entre las dos raíces es $\sqrt{p^2-4q}.$ Por tanto, $p^2-4q=1,$ así que $p^2=4q+1.$ Como $p$ es positivo, $p=\sqrt{4q+1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The two roots differ in absolute value by $\sqrt{p^2-4q}.$ Hence $p^2-4q=1,$ so $p^2=4q+1.$ Since $p$ is positive, $p=\sqrt{4q+1}.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

En el plano $xy,$ se trazan rectas que pasan por el punto $(3,4)$ y por los puntos de trisección del segmento que une $(-4,5)$ y $(5,-1).$ Una de estas rectas tiene la ecuación:

Lines in the $xy$ -plane are drawn through the point $(3,4)$ and the trisection points of the line segment joining the points $(-4,5)$ and $(5,-1).$ One of these lines has the equation:

$3x-2y-1=0$

$4x-5y+8=0$

$5x+2y-23=0$

$x+7y-31=0$

$x-4y+13=0$

Conceptos:geometría analítica pendiente ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Halla los dos puntos de trisección avanzando un tercio y dos tercios del vector de desplazamiento

Find the two trisection points by moving one-third and two-thirds of the displacement vector

Pista grande:

Los puntos de trisección son $(-1,3)$ y $(2,1)$ ; halla la recta que une cualquiera de ellos con $(3,4)$

The trisection points are $(-1,3)$ and $(2,1)$ ; find the line from either one to $(3,4)$

Solución:

El desplazamiento de $(-4,5)$ a $(5,-1)$ es $(9,-6).$ Por lo tanto, los puntos de trisección son $(-4,5)+\tfrac13(9,-6)=(-1,3)$ y $(2,1).$ La recta que pasa por $(-1,3)$ y $(3,4)$ tiene pendiente $\frac{1}{4},$ así que $y-4=\frac14(x-3),$ o bien $x-4y+13=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The displacement from $(-4,5)$ to $(5,-1)$ is $(9,-6).$ The trisection points are therefore $(-4,5)+\tfrac13(9,-6)=(-1,3)$ and $(2,1).$ The line through $(-1,3)$ and $(3,4)$ has slope $\frac{1}{4},$ so $y-4=\frac14(x-3),$ or $x-4y+13=0.$

Therefore, the correct answer is E.

16.

Si $F(n)$ es una función tal que $F(1)=F(2)=F(3)=1,$ y $F(n+1)=\frac{F(n)F(n-1)+1}{F(n-2)}$ para $n\ge3,$ entonces $F(6)$ es igual a:

If $F(n)$ is a function such that $F(1)=F(2)=F(3)=1,$ and such that $F(n+1)=\frac{F(n)F(n-1)+1}{F(n-2)}$ for $n\ge3,$ then $F(6)$ is equal to:

$2$

$3$

$7$

$11$

$26$

Conceptos:recursión función sustitución

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Calcula los términos uno por uno comenzando con $F(4)$

Compute the terms one at a time beginning with $F(4)$

Pista grande:

Usa la recurrencia sucesivamente para $n=3,4,5$

Use the recurrence successively for $n=3,4,5$

Solución:

Al aplicar la recurrencia sucesivamente, $\begin{aligned} F(4)&=\frac{1\cdot1+1}{1}=2,\\ F(5)&=\frac{2\cdot1+1}{1}=3, \end{aligned}$ y $F(6)=\frac{3\cdot2+1}{1}=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Applying the recurrence successively, $\begin{aligned} F(4)&=\frac{1\cdot1+1}{1}=2,\\ F(5)&=\frac{2\cdot1+1}{1}=3, \end{aligned}$ and $F(6)=\frac{3\cdot2+1}{1}=7.$

Therefore, the correct answer is C.

17.

Si $r\gt0,$ entonces para todos $p$ y $q$ tales que $pq\ne0$ y $pr\gt qr,$ se cumple:

If $r\gt0,$ then for all $p$ and $q$ such that $pq\ne0$ and $pr\gt qr,$ we have:

$-p\gt-q$

$-p\gt q$

$1\gt-\frac{q}{p}$

$1\lt \frac{q}{p}$

Ninguna de las anteriores

None of these

Conceptos:desigualdad contraejemplo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Como $r\gt0,$ la hipótesis solo implica $p\gt q$

Because $r\gt0,$ the hypothesis gives only $p\gt q$

Pista grande:

Prueba las afirmaciones restantes con valores positivos y negativos de $p,q$

Test the remaining claims with both positive and negative choices of $p,q$

Solución:

Como $r\gt0,$ la hipótesis equivale a $p\gt q.$ Entonces $-p\lt-q,$ así que A es falsa. Al tomar $(p,q)=(2,1)$ , B y D son falsas. Al tomar $(p,q)=(1,-2)$ , C es falsa porque $-\frac{q}{p}=2.$ Por lo tanto, ninguna de A-D se deduce en todos los casos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $r\gt0,$ the hypothesis is equivalent to $p\gt q.$ Then $-p\lt-q,$ so A is false. Taking $(p,q)=(2,1)$ makes B and D false. Taking $(p,q)=(1,-2)$ makes C false because $-\frac{q}{p}=2.$ Thus none of A-D follows in every case.

Therefore, the correct answer is E.

18.

$\sqrt{3+2\sqrt2}-\sqrt{3-2\sqrt2}$ es igual a:

$\sqrt{3+2\sqrt2}-\sqrt{3-2\sqrt2}$ is equal to:

$2$

$2\sqrt3$

$4\sqrt2$

$\sqrt6$

$2\sqrt2$

Conceptos:radical cuadrado perfecto manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Reconoce cada radicando como el cuadrado de un binomio

Recognize each radicand as a squared binomial

Pista grande:

Usa $3\pm2\sqrt2=(\sqrt2\pm1)^2$

Use $3\pm2\sqrt2=(\sqrt2\pm1)^2$

Solución:

Como $\begin{gathered} 3+2\sqrt2=(\sqrt2+1)^2,\\ 3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2, \end{gathered}$ y tanto $\sqrt2+1$ como $\sqrt2-1$ son positivos, la diferencia es $(\sqrt2+1)-(\sqrt2-1)=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\begin{gathered} 3+2\sqrt2=(\sqrt2+1)^2,\\ 3-2\sqrt2=(\sqrt2-1)^2, \end{gathered}$ and both $\sqrt2+1$ and $\sqrt2-1$ are positive, the difference is $(\sqrt2+1)-(\sqrt2-1)=2.$

Therefore, the correct answer is A.

19.

La suma de una serie geométrica infinita de razón común $r$ , donde $|r|\lt1,$ es $15,$ y la suma de los cuadrados de los términos de esta serie es $45.$ El primer término de la serie es:

The sum of an infinite geometric series with common ratio $r$ such that $|r|\lt1$ is $15,$ and the sum of the squares of the terms of this series is $45.$ The first term of the series is:

$12$

$10$

$5$

$3$

$2$

Conceptos:sucesión geométrica sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Si el primer término es $a,$ escribe una ecuación para cada suma infinita

If the first term is $a,$ write one equation for each infinite sum

Pista grande:

Usa $\frac{a}{1-r}=15$ y $\frac{a^2}{1-r^2}=45$ , y luego cancela un factor $1-r$

Use $\frac{a}{1-r}=15$ and $\frac{a^2}{1-r^2}=45$ , then cancel a factor of $1-r$

Solución:

Sea $a$ el primer término. Entonces $\frac{a}{1-r}=15,\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=45.$ Como $1-r^2=(1-r)(1+r),$ al dividir la segunda ecuación entre la primera obtenemos $\frac{a}{1+r}=3.$ Por lo tanto, $a=15(1-r)=3(1+r).$ Al resolver obtenemos $r=\frac{2}{3}$ y $a=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the first term be $a.$ Then $\frac{a}{1-r}=15,\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=45.$ Since $1-r^2=(1-r)(1+r),$ dividing the second equation by the first gives $\frac{a}{1+r}=3.$ Thus $a=15(1-r)=3(1+r).$ Solving gives $r=\frac{2}{3}$ and $a=5.$

Therefore, the correct answer is C.

20.

Las rectas $HK$ y $BC$ están en un mismo plano. $M$ es el punto medio del segmento $BC,$ y $BH$ y $CK$ son perpendiculares a $HK.$ Entonces:

Lines $HK$ and $BC$ lie in a plane. $M$ is the midpoint of line segment $BC,$ and $BH$ and $CK$ are perpendicular to $HK.$ Then we:

siempre se cumple $MH=MK$

always have $MH=MK$

siempre se cumple $MH\gt BK$

always have $MH\gt BK$

a veces se cumple $MH=MK$ , pero no siempre

sometimes have $MH=MK$ but not always

siempre se cumple $MH\gt MB$

always have $MH\gt MB$

siempre se cumple $BH\lt BC$

always have $BH\lt BC$

Conceptos:geometría analítica punto medio mediatriz

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Coloca $HK$ sobre el eje $x$

Put $HK$ on the $x$ -axis

Pista grande:

Usa $H=(h,0),$ $B=(h,u),$ $K=(k,0)$ y $C=(k,v)$ ; compara los cuadrados de las distancias desde su punto medio

Use $H=(h,0),$ $B=(h,u),$ $K=(k,0),$ and $C=(k,v)$ ; compare squared distances from their midpoint

Solución:

Elige las coordenadas $\begin{gathered} H=(h,0),\quad B=(h,u),\\ K=(k,0),\quad C=(k,v). \end{gathered}$ Entonces $M=\left(\frac{h+k}{2},\frac{u+v}{2}\right).$ Los desplazamientos horizontales de $M$ a $H$ y $K$ son opuestos, mientras que los desplazamientos verticales son iguales. Por lo tanto, $MH^2=MK^2,$ de modo que siempre $MH=MK$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Choose coordinates $\begin{gathered} H=(h,0),\quad B=(h,u),\\ K=(k,0),\quad C=(k,v). \end{gathered}$ Then $M=\left(\frac{h+k}{2},\frac{u+v}{2}\right).$ The horizontal displacements from $M$ to $H$ and $K$ are opposites, while the vertical displacements are equal. Therefore $MH^2=MK^2,$ so $MH=MK$ always.

Therefore, the correct answer is A.

21.

En un viaje en automóvil, la distancia indicada en el tablero fue de $450$ millas. Con neumáticos para nieve en el viaje de regreso por la misma ruta, la lectura fue de $440$ millas. Halla, a la centésima de pulgada más cercana, el aumento del radio de las ruedas si el radio original era de $15$ pulgadas.

On an auto trip, the distance read from the instrument panel was $450$ miles. With snow tires on for the return trip over the same route, the reading was $440$ miles. Find, to the nearest hundredth of an inch, the increase in radius of the wheels if the original radius was $15$ inches.

$0.33$

$0.34$

$0.35$

$0.38$

$0.66$

Conceptos:razón y proporción circunferencia distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Para una distancia real fija, la lectura del odómetro es inversamente proporcional al radio de la rueda

For a fixed true distance, the odometer reading is inversely proportional to wheel radius

Pista grande:

Si los radios son $r_1,r_2,$ usa $450r_1=440r_2$

If the radii are $r_1,r_2,$ use $450r_1=440r_2$

Solución:

Para una distancia real fija, la lectura del odómetro es proporcional al número de vueltas de la rueda. Por lo tanto, $450r_1=440r_2, \qquad \frac{r_2}{r_1}=\frac{45}{44}.$ Con $r_1=15,$ el aumento es $\begin{aligned} r_2-r_1 &=15\left(\frac{45}{44}-1\right)\\ &=\frac{15}{44}\\ &\approx0.3409. \end{aligned}$ A la centésima más cercana, esto es $0.34$ pulgadas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For a fixed true distance, the odometer reading is proportional to the number of wheel revolutions. Thus $450r_1=440r_2, \qquad \frac{r_2}{r_1}=\frac{45}{44}.$ With $r_1=15,$ the increase is $\begin{aligned} r_2-r_1 &=15\left(\frac{45}{44}-1\right)\\ &=\frac{15}{44}\\ &\approx0.3409. \end{aligned}$ To the nearest hundredth this is $0.34$ inch.

Therefore, the correct answer is B.

22.

Si la suma de los primeros $3n$ enteros positivos es $150$ mayor que la suma de los primeros $n$ enteros positivos, entonces la suma de los primeros $4n$ enteros positivos es:

If the sum of the first $3n$ positive integers is $150$ more than the sum of the first $n$ positive integers, then the sum of the first $4n$ positive integers is:

$300$

$350$

$400$

$450$

$600$

Conceptos:número triangular cuadrática sumatoria

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Usa $1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}$

Use $1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}$

Pista grande:

La diferencia dada se simplifica a $4n^2+n$

The given difference simplifies to $4n^2+n$

Solución:

Sea $S_m=\frac{m(m+1)}{2}.$ Entonces $\begin{aligned} 2(S_{3n}-S_n) &=3n(3n+1)\\ &\quad{}-n(n+1)\\ &=8n^2+2n. \end{aligned}$ Como $S_{3n}-S_n=150,$ esto da $4n^2+n=150.$ Por tanto, $(n-6)(4n+25)=0,$ y la solución positiva es $n=6.$ Entonces $S_{4n}=S_{24}=\frac{24\cdot25}{2}=300.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $S_m=\frac{m(m+1)}{2}.$ Then $\begin{aligned} 2(S_{3n}-S_n) &=3n(3n+1)\\ &\quad{}-n(n+1)\\ &=8n^2+2n. \end{aligned}$ Since $S_{3n}-S_n=150,$ this gives $4n^2+n=150.$ Hence $(n-6)(4n+25)=0,$ and the positive solution is $n=6.$ Therefore $S_{4n}=S_{24}=\frac{24\cdot25}{2}=300.$

Therefore, the correct answer is A.

23.

El número $10!$ ( $10$ está escrito en base $10$ ), al escribirse en el sistema de base $12$ , termina exactamente en $k$ ceros. El valor de $k$ es:

The number $10!$ ( $10$ is written in base $10$ ), when written in the base $12$ system, ends in exactly $k$ zeros. The value of $k$ is:

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:base numérica ceros finales factorización en primos factorial

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Un cero final en base $12$ aporta un factor $12=2^2\cdot3$

A trailing base- $12$ zero contributes one factor of $12=2^2\cdot3$

Pista grande:

Compara los exponentes de $2$ y $3$ en $10!$

Compare the exponents of $2$ and $3$ in $10!$

Solución:

Los exponentes primos en $10!$ son $\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4. \end{gathered}$ Cada factor $12=2^2\cdot3$ utiliza dos factores de $2$ y uno de $3.$ Por lo tanto, el número de ceros finales en base $12$ es $\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The prime exponents in $10!$ are $\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4. \end{gathered}$ Each factor of $12=2^2\cdot3$ uses two factors of $2$ and one of $3.$ Hence the number of trailing base- $12$ zeros is $\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4.$

Therefore, the correct answer is D.

24.

Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perímetros iguales. Si el área del triángulo es $2,$ entonces el área del hexágono es:

An equilateral triangle and a regular hexagon have equal perimeters. If the area of the triangle is $2,$ then the area of the hexagon is:

$2$

$3$

$4$

$6$

$12$

Conceptos:triángulo equilátero polígono regular razón de áreas perímetro

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Sea $s$ el lado del hexágono; la igualdad de perímetros hace que el lado del triángulo sea $2s$

Let the hexagon side be $s$ ; equal perimeters make the triangle side $2s$

Pista grande:

El triángulo se divide en cuatro triángulos equiláteros pequeños de lado $s$ , mientras que el hexágono se divide en seis

The triangle splits into four small equilateral triangles of side $s$ , while the hexagon splits into six

Solución:

Sea $s$ el lado del hexágono. Su perímetro es $6s,$ así que el triángulo equilátero tiene lado $2s.$ El triángulo grande consta de $4$ triángulos equiláteros de lado $s,$ mientras que el hexágono consta de $6.$ Por tanto, la razón entre sus áreas es $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$ Como el área del triángulo es $2,$ el área del hexágono es $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the hexagon side be $s.$ Its perimeter is $6s,$ so the equilateral triangle has side $2s.$ The large triangle consists of $4$ equilateral triangles of side $s,$ while the hexagon consists of $6.$ Their area ratio is therefore $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$ Since the triangle’s area is $2,$ the hexagon’s area is $3.$

Therefore, the correct answer is B.

25.

Para cada número real $x,$ sea $\lfloor x\rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x.$ Si la tarifa postal de primera clase es de seis centavos por cada onza o fracción de onza, entonces el costo en centavos del franqueo de primera clase de una carta que pesa $W$ onzas siempre es:

For every real number $x,$ let $\lfloor x\rfloor$ be the greatest integer which is less than or equal to $x.$ If the postal rate for first class mail is six cents for every ounce or portion thereof, then the cost in cents of first-class postage on a letter weighing $W$ ounces is always:

$6W$

$6\lfloor W\rfloor$

$6(\lfloor W\rfloor-1)$

$6(\lfloor W\rfloor+1)$

$-6\lfloor-W\rfloor$

Conceptos:funciones piso y techo dinero función

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

El número de onzas cobradas es el menor entero que es al menos $W$

The number of charged ounces is the least integer at least $W$

Pista grande:

Usa la identidad $\lceil W\rceil=-\lfloor-W\rfloor$

Use the identity $\lceil W\rceil=-\lfloor-W\rfloor$

Solución:

Cobrar por cada onza o fracción de onza significa que el número de onzas cobradas es $\lceil W\rceil.$ Las funciones piso y techo satisfacen $\lceil W\rceil=-\lfloor-W\rfloor.$ Por lo tanto, el costo es $6\lceil W\rceil=-6\lfloor-W\rfloor.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Charging for every ounce or portion thereof means the number of charged ounces is $\lceil W\rceil.$ The floor and ceiling functions satisfy $\lceil W\rceil=-\lfloor-W\rfloor.$ Thus the cost is $6\lceil W\rceil=-6\lfloor-W\rfloor.$

Therefore, the correct answer is E.

26.

El número de puntos distintos del plano $xy$ que son comunes a las gráficas de $(x+y-5)(2x-3y+5)=0$ y $(x-y+1)(3x+2y-12)=0$ es:

The number of distinct points in the $xy$ -plane common to the graphs of $(x+y-5)(2x-3y+5)=0$ and $(x-y+1)(3x+2y-12)=0$ is:

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

infinitos

infinite

Conceptos:sistema de ecuaciones propiedad del producto nulo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Cada ecuación producto representa la unión de dos rectas

Each product equation represents a union of two lines

Pista grande:

Comprueba la intersección de las dos rectas de cada par antes de considerar los cuatro emparejamientos

Check the intersection of the two lines in each pair before considering all four pairings

Solución:

La primera gráfica es la unión de $x+y=5,\qquad 2x-3y=-5,$ y esas dos rectas se cortan en $(2,3).$ La segunda gráfica es la unión de $x-y=-1,\qquad 3x+2y=12,$ y estas también se cortan en $(2,3).$ De hecho, al sustituir $(2,3)$ se satisfacen las cuatro ecuaciones de las rectas. Como las cuatro rectas tienen pendientes distintas, ningún otro punto puede pertenecer a una recta de cada gráfica. Hay exactamente un punto común.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first graph is the union of $x+y=5,\qquad 2x-3y=-5,$ and those two lines meet at $(2,3).$ The second graph is the union of $x-y=-1,\qquad 3x+2y=12,$ and these also meet at $(2,3).$ In fact, substituting $(2,3)$ satisfies all four line equations. Since the four lines have distinct slopes, no other point can belong to a line from each graph. There is exactly one common point.

Therefore, the correct answer is B.

27.

En un triángulo, el área es numéricamente igual al perímetro. ¿Cuál es el radio del círculo inscrito?

In a triangle, the area is numerically equal to the perimeter. What is the radius of the inscribed circle?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio área del triángulo perímetro

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Expresa el área en función del inradio y el semiperímetro

Express the area in terms of the inradius and semiperimeter

Pista grande:

Usa $K=rs$ y perímetro $=2s$

Use $K=rs$ and perimeter $=2s$

Solución:

Si $r$ es el inradio y $s$ el semiperímetro, el área del triángulo es $K=rs.$ Su perímetro es $2s.$ La igualdad dada produce $rs=2s.$ Como $s\gt0,$ obtenemos $r=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $r$ is the inradius and $s$ the semiperimeter, the triangle’s area is $K=rs.$ Its perimeter is $2s.$ The given equality yields $rs=2s.$ Since $s\gt0,$ we obtain $r=2.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

En el triángulo $ABC,$ la mediana desde el vértice $A$ es perpendicular a la mediana desde el vértice $B.$ Si las longitudes de los lados $AC$ y $BC$ son $6$ y $7,$ respectivamente, entonces la longitud del lado $AB$ es:

In triangle $ABC,$ the median from vertex $A$ is perpendicular to the median from vertex $B.$ If the lengths of sides $AC$ and $BC$ are $6$ and $7,$ respectively, then the length of side $AB$ is:

$\sqrt{17}$

$4$

$4\tfrac12$

$2\sqrt5$

$4\tfrac14$

Conceptos:baricentro mediana (geometría)vector Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Coloca el centroide en el origen y sean los vectores de posición de $A,B$ los vectores perpendiculares $u,v$

Place the centroid at the origin and let the position vectors of $A,B$ be perpendicular vectors $u,v$

Pista grande:

Entonces $C=-u-v,$ por lo que $AC^2=|2u+v|^2$ y $BC^2=|u+2v|^2$

Then $C=-u-v,$ so $AC^2=|2u+v|^2$ and $BC^2=|u+2v|^2$

Solución:

Coloca el centroide en el origen. Sean $u$ y $v$ los vectores de posición de $A$ y $B.$ Las dos medianas tienen las direcciones de $u$ y $v,$ así que $u\cdot v=0.$ Además, la condición del centroide da $C=-u-v.$

Sean $U=|u|^2$ y $V=|v|^2.$ Entonces $AC^2=|2u+v|^2=4U+V=36$ y $\begin{aligned} BC^2&=|u+2v|^2\\ &=U+4V=49. \end{aligned}$ Al sumar múltiplos adecuados obtenemos $U+V=17.$ Finalmente, $AB^2=|u-v|^2=U+V=17,$ así que $AB=\sqrt{17}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Place the centroid at the origin. Let the position vectors of $A$ and $B$ be $u$ and $v.$ The two medians lie along $u$ and $v,$ so $u\cdot v=0.$ Also the centroid condition gives $C=-u-v.$

Let $U=|u|^2$ and $V=|v|^2.$ Then $AC^2=|2u+v|^2=4U+V=36$ and $\begin{aligned} BC^2&=|u+2v|^2\\ &=U+4V=49. \end{aligned}$ Adding appropriate multiples gives $U+V=17.$ Finally, $AB^2=|u-v|^2=U+V=17,$ so $AB=\sqrt{17}.$

Therefore, the correct answer is A.

29.

Ahora es una hora entre las $10{:}00$ y las $11{:}00$ , y dentro de seis minutos el minutero de un reloj estará exactamente opuesto al punto donde se encontraba la manecilla horaria hace tres minutos. ¿Qué hora exacta es ahora?

It is now between $10{:}00$ and $11{:}00$ o’clock, and six minutes from now, the minute hand of a watch will be exactly opposite the place where the hour hand was three minutes ago. What is the exact time now?

$10{:}05\tfrac5{11}$

$10{:}07\tfrac12$

$10{:}10$

$10{:}15$

$10{:}17\tfrac12$

Conceptos:reloj ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Sea $x$ el número de minutos transcurridos desde las $10{:}00$

Let $x$ be the number of minutes after $10{:}00$ now

Pista grande:

En unidades de espacios de minuto, el minutero futuro está en $x+6$ , mientras que el punto opuesto a la posición anterior de la manecilla horaria está en $20+\frac{x-3}{12}$

In minute-space units, the future minute hand is at $x+6$ , while the point opposite the past hour hand is at $20+\frac{x-3}{12}$

Solución:

Sea $x$ el número de minutos transcurridos desde las $10{:}00$ . Dentro de seis minutos, el minutero estará a $x+6$ espacios de minuto en sentido horario desde el $12.$ Hace tres minutos, la manecilla horaria estaba $\frac{x-3}{12}$ espacios de minuto después de la marca de las $10,$ por lo que el punto opuesto estaba $20+\frac{x-3}{12}$ espacios de minuto después del $12.$ Por tanto, $x+6=20+\frac{x-3}{12}.$ Al resolver obtenemos $x=15,$ así que la hora es $10{:}15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $x$ be the number of minutes after $10{:}00$ now. Six minutes from now, the minute hand is $x+6$ minute spaces clockwise from $12.$ Three minutes ago, the hour hand was $\frac{x-3}{12}$ minute spaces past the $10,$ so the point opposite it was $20+\frac{x-3}{12}$ minute spaces past $12.$ Hence $x+6=20+\frac{x-3}{12}.$ Solving gives $x=15,$ so the time is $10{:}15.$

Therefore, the correct answer is D.

30.

En la figura adjunta, los segmentos $AB$ y $CD$ son paralelos, la medida del ángulo $D$ es el doble de la del ángulo $B,$ y las longitudes de los segmentos $AD$ y $CD$ son $a$ y $b,$ respectivamente. Entonces la longitud de $AB$ es igual a:

In the accompanying figure, segments $AB$ and $CD$ are parallel, the measure of angle $D$ is twice that of angle $B,$ and the measures of segments $AD$ and $CD$ are $a$ and $b,$ respectively. Then the measure of $AB$ is equal to:

$\tfrac12a+2b$

$\tfrac32b+\tfrac34a$

$2a-b$

$4b-\tfrac12a$

$a+b$

Conceptos:bisectriz rectas paralelas triángulo isósceles paralelogramo

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Biseca el ángulo $D$ y haz que la bisectriz corte a $AB$ en $P$

Bisect angle $D$ and let the bisector meet $AB$ at $P$

Pista grande:

La persecución de ángulos muestra que $\triangle APD$ es isósceles, mientras que $PBCD$ es un paralelogramo

Angle chasing makes $\triangle APD$ isosceles, while $PBCD$ is a parallelogram

Solución:

Sea $P$ el punto donde la bisectriz de $\angle D$ corta a $AB.$ Como $\angle D=2\angle B,$ cada mitad tiene medida $\angle B.$ Puesto que $AB\parallel CD,$ el ángulo interior alterno $\angle APD$ también es igual a $\angle PDC.$ Así, el triángulo $APD$ es isósceles y $AP=AD=a.$ Además, $PB\parallel CD$ y $BC\parallel PD,$ por lo que $PBCD$ es un paralelogramo. Entonces $PB=CD=b.$ Por lo tanto, $AB=AP+PB=a+b.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the bisector of $\angle D$ meet $AB$ at $P.$ Because $\angle D=2\angle B,$ each half has measure $\angle B.$ Since $AB\parallel CD,$ the alternate interior angle $\angle APD$ also equals $\angle PDC.$ Thus triangle $APD$ is isosceles and $AP=AD=a.$ Also $PB\parallel CD$ and $BC\parallel PD,$ so $PBCD$ is a parallelogram. Hence $PB=CD=b.$ Therefore $AB=AP+PB=a+b.$

Therefore, the correct answer is E.

31.

Si se selecciona al azar un número del conjunto de todos los números de cinco dígitos cuya suma de dígitos es igual a $43,$ ¿cuál es la probabilidad de que este número sea divisible por $11$ ?

If a number is selected at random from the set of all five-digit numbers in which the sum of the digits is equal to $43,$ what is the probability that this number will be divisible by $11?$

$\frac{2}{5}$

$\frac{1}{5}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{11}$

$\frac{1}{15}$

Conceptos:dígitos divisibilidad conteo básico probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Parte de $99999$ ; una suma de dígitos de $43$ significa un déficit total de $2$

Start from $99999$ ; a digit sum of $43$ means a total deficit of $2$

Pista grande:

Las posibilidades son un $7$ o dos $8$ ; aplica la prueba de divisibilidad por $11$ mediante la suma alternada

The possibilities are one $7$ or two $8$ s; apply the divisibility-by- $11$ alternating-sum test

Solución:

La suma máxima de los dígitos de un número de cinco dígitos es $45,$ así que una suma de $43$ tiene un déficit total de $2$ con respecto a $99999.$ O bien un dígito es $7$ y los demás son $9$ , lo que da $5$ números, o bien dos dígitos son $8$ y los demás son $9$ , lo que da $\binom52=10$ números. Así, hay $15$ números en total.

Usando la prueba de divisibilidad por $11,$ exactamente $97999,\qquad 99979,\qquad 98989$ son divisibles por $11.$ Por lo tanto, la probabilidad es $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The maximum five-digit digit sum is $45,$ so a sum of $43$ has total deficit $2$ from $99999.$ Either one digit is $7$ and the others are $9$ , giving $5$ numbers, or two digits are $8$ and the others are $9$ , giving $\binom52=10$ numbers. Thus there are $15$ numbers total.

Using the divisibility-by- $11$ test, exactly $97999,\qquad 99979,\qquad 98989$ are divisible by $11.$ The probability is therefore $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.$

Therefore, the correct answer is B.

32.

$A$ y $B$ recorren una pista circular a velocidades uniformes en direcciones opuestas, partiendo de puntos diametralmente opuestos. Si comienzan al mismo tiempo, se encuentran por primera vez después de que $B$ ha recorrido $100$ yardas y se encuentran por segunda vez cuando a $A$ le faltan $60$ yardas para completar una vuelta, entonces la circunferencia de la pista en yardas es:

$A$ and $B$ travel around a circular track at uniform speeds in opposite directions, starting from diametrically opposite points. If they start at the same time, meet first after $B$ has travelled $100$ yards, and meet a second time $60$ yards before $A$ completes one lap, then the circumference of the track in yards is:

$400$

$440$

$480$

$560$

$880$

Conceptos:velocidad relativa circunferencia razón y proporción sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Sea $2C$ la circunferencia y compara las razones entre las distancias recorridas por los dos corredores en cada encuentro

Let the circumference be $2C$ and compare the two runners’ traveled-distance ratios at each meeting

Pista grande:

En el primer encuentro sus distancias son $C-100$ y $100$ ; en el segundo son $2C-60$ y $C+60$

At the first meeting their distances are $C-100$ and $100$ ; at the second they are $2C-60$ and $C+60$

Solución:

Sea $2C$ la circunferencia. En el primer encuentro, $B$ ha recorrido $100$ yardas y $A$ ha recorrido $C-100,$ por lo que la razón entre sus velocidades es $\frac{v_A}{v_B}=\frac{C-100}{100}.$ En el segundo encuentro, a $A$ le faltan $60$ yardas para completar una vuelta, así que ha recorrido $2C-60.$ Para entonces, la distancia combinada que han recorrido es $3C,$ de modo que $B$ ha recorrido $C+60.$ Por tanto, $\frac{C-100}{100}=\frac{2C-60}{C+60}.$ Al multiplicar en cruz obtenemos $C=240,$ así que la circunferencia es $2C=480$ yardas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the circumference be $2C.$ At the first meeting, $B$ has traveled $100$ yards and $A$ has traveled $C-100,$ so their speed ratio is $\frac{v_A}{v_B}=\frac{C-100}{100}.$ At the second meeting, $A$ is $60$ yards short of one lap, so it has traveled $2C-60.$ By then their combined distance is $3C,$ so $B$ has traveled $C+60.$ Hence $\frac{C-100}{100}=\frac{2C-60}{C+60}.$ Cross-multiplying gives $C=240,$ so the circumference is $2C=480$ yards.

Therefore, the correct answer is C.

33.

Halla la suma de los dígitos de todos los numerales de la sucesión $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ $10000.$

Find the sum of the digits of all the numerals in the sequence $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ $10000.$

$180{,}001$

$154{,}756$

$45{,}001$

$154{,}755$

$270{,}001$

Conceptos:dígitos valor posicional simetría (álgebra)sumatoria

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Primero suma los dígitos desde $0000$ hasta $9999$

First sum the digits from $0000$ through $9999$

Pista grande:

En cada una de las cuatro posiciones, cada dígito aparece exactamente $1000$ veces

In each of the four positions, every digit appears exactly $1000$ times

Solución:

Escribe los enteros desde $0$ hasta $9999$ con cuatro dígitos y ceros iniciales. En cada una de las cuatro posiciones, cada dígito $0,$ $1,$ $\ldots,$ $9$ aparece $1000$ veces. Por lo tanto, la suma total de sus dígitos es $\begin{gathered} 4\cdot1000(0+1+\cdots+9)\\ =4000\cdot45\\ =180000. \end{gathered}$ Sustituir $0$ por $10000$ añade $1,$ así que la suma pedida es $180001.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write the integers from $0$ through $9999$ using four digits with leading zeros. In each of the four positions, every digit $0,$ $1,$ $\ldots,$ $9$ appears $1000$ times. Thus their total digit sum is $\begin{gathered} 4\cdot1000(0+1+\cdots+9)\\ =4000\cdot45\\ =180000. \end{gathered}$ Replacing $0$ by $10000$ adds $1,$ so the requested sum is $180001.$

Therefore, the correct answer is A.

34.

El mayor entero que divide $13{,}511,$ $13{,}903$ y $14{,}589$ y deja el mismo residuo es:

The greatest integer that will divide $13{,}511,$ $13{,}903,$ and $14{,}589$ and leave the same remainder is:

$28$

$49$

$98$

un múltiplo impar de $7$ mayor que $49$

an odd multiple of $7$ greater than $49$

un múltiplo par de $7$ mayor que $98$

an even multiple of $7$ greater than $98$

Conceptos:máximo común divisor divisibilidad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Un residuo común significa que el divisor divide cada diferencia entre dos números

A common remainder means the divisor divides every pairwise difference

Pista grande:

Halla el MCD de $13903-13511$ y $14589-13903$

Find the GCD of $13903-13511$ and $14589-13903$

Solución:

Un divisor deja el mismo residuo en los tres números exactamente cuando divide sus diferencias. Las dos diferencias sucesivas son $\begin{gathered} 13903-13511=392,\\ 14589-13903=686. \end{gathered}$ Por lo tanto, el mayor divisor posible es $\begin{gathered} \gcd(392,686)\\ =\gcd(392,294)\\ =\gcd(294,98)=98. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A divisor leaves the same remainder on all three numbers exactly when it divides their differences. The two successive differences are $\begin{gathered} 13903-13511=392,\\ 14589-13903=686. \end{gathered}$ Therefore the greatest possible divisor is $\begin{gathered} \gcd(392,686)\\ =\gcd(392,294)\\ =\gcd(294,98)=98. \end{gathered}$

Therefore, the correct answer is C.

35.

Un empleado que se jubila recibe una pensión anual proporcional a la raíz cuadrada de su número de años de servicio. Si hubiera trabajado $a$ años más, su pensión habría sido $p$ dólares mayor; si hubiera trabajado $b$ años más ( $b\ne a$ ), su pensión habría sido $q$ dólares mayor que la pensión anual original. Halla su pensión anual en función de $a,$ $b,$ $p$ y $q.$

A retiring employee receives an annual pension proportional to the square root of the number of years of his service. Had he served $a$ years more, his pension would have been $p$ dollars greater, whereas, had he served $b$ years more ( $b\ne a$ ), his pension would have been $q$ dollars greater than the original annual pension. Find his annual pension in terms of $a,$ $b,$ $p,$ and $q.$

$\dfrac{p^2-q^2}{2(a-b)}$

$\dfrac{(p-q)^2}{2\sqrt{ab}}$

$\dfrac{ap^2-bq^2}{2(ap-bq)}$

$\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}$

$\sqrt{(a-b)(p-q)}$

Conceptos:razón y proporción radical sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Sea $X=k\sqrt n$ la pensión actual y escribe las dos pensiones hipotéticas

Let the current pension be $X=k\sqrt n$ and write the two hypothetical pensions

Pista grande:

Eleva al cuadrado $X+p=k\sqrt{n+a}$ y $X+q=k\sqrt{n+b}$ , y luego elimina tanto $n$ como $k^2$

Square $X+p=k\sqrt{n+a}$ and $X+q=k\sqrt{n+b}$ , then eliminate both $n$ and $k^2$

Solución:

Sea $X=k\sqrt n$ la pensión actual. Como $X+p=k\sqrt{n+a}$ y $X+q=k\sqrt{n+b},$ al elevar al cuadrado y usar $X^2=k^2n$ se obtienen las dos primeras ecuaciones de abajo. Al multiplicarlas por $b$ y $a,$ respectivamente, y restar, se obtiene la tercera: $\begin{gathered} 2pX+p^2=k^2a,\\ 2qX+q^2=k^2b,\\ 2X(bp-aq)=aq^2-bp^2. \end{gathered}$ Por lo tanto, $X=\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the current pension be $X=k\sqrt n.$ Since $X+p=k\sqrt{n+a}$ and $X+q=k\sqrt{n+b},$ squaring and using $X^2=k^2n$ gives the first line below. Multiplying its equations by $b$ and $a,$ respectively, and subtracting gives the second: $\begin{gathered} 2pX+p^2=k^2a,\\ 2qX+q^2=k^2b,\\ 2X(bp-aq)=aq^2-bp^2. \end{gathered}$ Hence $X=\dfrac{aq^2-bp^2}{2(bp-aq)}.$

Therefore, the correct answer is D.