Question

Si $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ es una sucesión de números positivos tal que $a_{n+2}=a_na_{n+1}$ para todo entero positivo $n,$ entonces la sucesión $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ es una progresión geométrica

If $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is a sequence of positive numbers such that $a_{n+2}=a_na_{n+1}$ for all positive integers $n,$ then the sequence $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is a geometric progression

para todos los valores positivos de $a_1$ y $a_2$

for all positive values of $a_1$ and $a_2$

si y solo si $a_1=a_2$

if and only if $a_1=a_2$

si y solo si $a_1=1$

if and only if $a_1=1$

si y solo si $a_2=1$

if and only if $a_2=1$

si y solo si $a_1=a_2=1$

if and only if $a_1=a_2=1$

Respuesta: E

Conceptos:recursión sucesión geométrica razón y proporción

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Escribe $a_3,$ $a_4,$ y $a_5$ en función de $a_1,$ $a_2$

Write out $a_3,$ $a_4,$ and $a_5$ in terms of $a_1,$ $a_2$

Pista grande:

Iguala las tres primeras razones consecutivas y usa que los términos son positivos

Equate the first three successive ratios and use positivity

Solución:

Los términos siguientes son $a_3=a_1a_2,$ $a_4=a_1a_2^2,$ y $a_5=a_1^2a_2^3.$ Si la sucesión es geométrica, entonces $\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1. \end{aligned}$ Así, $a_2=a_1^2$ y $a_2=a_1.$ Como los términos son positivos, necesariamente $a_1=a_2=1.$ Recíprocamente, estos valores iniciales producen la sucesión geométrica constante $1,1,1,\ldots.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The next terms are $a_3=a_1a_2,$ $a_4=a_1a_2^2,$ and $a_5=a_1^2a_2^3.$ If the sequence is geometric, then $\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1. \end{aligned}$ Thus $a_2=a_1^2$ and $a_2=a_1.$ Positivity forces $a_1=a_2=1.$ Conversely, these initial values produce the constant geometric sequence $1,1,1,\ldots.$

Therefore, the correct answer is E.

1977 AMC 12 Problema 13

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años