Question

En el cuadrado $ABCD$ , cuyos lados miden $12$ pulgadas, se traza el segmento $AE$ , donde $E$ es el punto de $DC$ que está a $5$ pulgadas de $D.$ Se traza la mediatriz de $AE$ , la cual corta a $AE,$ $AD,$ y $BC$ en los puntos $M,$ $P,$ y $Q,$ respectivamente. La razón entre los segmentos $PM$ y $MQ$ es:

Inside square $ABCD$ with sides of length $12$ inches, segment $AE$ is drawn, where $E$ is the point on $DC$ which is $5$ inches from $D.$ The perpendicular bisector of $AE$ is drawn and intersects $AE,$ $AD,$ and $BC$ at points $M,$ $P,$ and $Q,$ respectively. The ratio of segment $PM$ to $MQ$ is:

$5{:}12$

$5{:}13$

$5{:}19$

$1{:}4$

$5{:}21$

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado (geometría)punto medio mediatriz semejanza

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Traza por $M$ una recta paralela a $AB$

Draw through $M$ a line parallel to $AB$

Pista grande:

Las distancias horizontales de $M$ a $AD$ y $BC$ son $\frac{5}{2}$ y $\frac{19}{2}$

The horizontal distances from $M$ to $AD$ and $BC$ are $\frac{5}{2}$ and $\frac{19}{2}$

Solución:

Como $M$ es el punto medio de $AE,$ su distancia horizontal a $AD$ es $\frac{5}{2}.$ Su distancia a $BC$ es $12-\frac52=\frac{19}{2}.$ Los dos triángulos rectángulos que la horizontal por $M$ determina sobre la recta $PQ$ son semejantes, de modo que sus hipotenusas están en la razón de estos catetos horizontales: $PM:MQ=\frac52:\frac{19}{2}=5:19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $M$ is the midpoint of $AE,$ its horizontal distance from $AD$ is $\frac{5}{2}.$ Its distance from $BC$ is $12-\frac52=\frac{19}{2}.$ The two right triangles cut from line $PQ$ by the horizontal through $M$ are similar, so their hypotenuses are in the ratio of these horizontal legs: $PM:MQ=\frac52:\frac{19}{2}=5:19.$

Therefore, the correct answer is C.

1972 AMC 12 Problema 13

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años