Question

La suma de $18$ enteros positivos consecutivos es un cuadrado perfecto. El menor valor posible de esta suma es

The sum of $18$ consecutive positive integers is a perfect square. The smallest possible value of this sum is

$169$

$225$

$289$

$361$

$441$

La suma de $n,$ $n+1,\ldots,$ $n+17$ es $18n+\dfrac{17\cdot18}{2}=9(2n+17).$ Como $9$ es un cuadrado perfecto, $2n+17$ también debe serlo.

El menor entero positivo $n$ que hace de $2n+17$ un cuadrado perfecto es $n=4,$ que da $2n+17=25$ y una suma de $9\cdot25=225.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The sum of $n,$ $n+1,\ldots,$ $n+17$ is $18n+\dfrac{17\cdot18}{2}=9(2n+17).$ Since $9$ is a perfect square, $2n+17$ must be one too.

The smallest positive integer $n$ making $2n+17$ a perfect square is $n=4,$ giving $2n+17=25$ and a sum of $9\cdot25=225.$

Thus, the correct answer is B.