Question

Define una sucesión de números reales $a_1, a_2, a_3, \ldots$ mediante $a_1 = 1$ y $a_{n+1}^3 = 99 a_n^3$ para todo $n \ge 1.$ Entonces $a_{100}$ es igual a

Define a sequence of real numbers $a_1, a_2, a_3, \ldots$ by $a_1 = 1$ and $a_{n+1}^3 = 99 a_n^3$ for all $n \ge 1.$ Then $a_{100}$ equals

$33^{33}$

$33^{99}$

$99^{33}$

$99^{99}$

ninguna de las anteriores

none of these

Solución:

Tomando raíces cúbicas, $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n,$ así que la sucesión es geométrica con primer término $1$ y razón $\sqrt[3]{99}.$ Entonces $a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Taking cube roots, $a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n,$ so the sequence is geometric with first term $1$ and ratio $\sqrt[3]{99}.$ Then $a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.$

Thus, the correct answer is C.

1999 AMC 12 Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años