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2004 AMC 12B Problema 13

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 13 del 2004 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2004 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:funciónsistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1580

13.

Si f(x)=ax+bf(x) = ax + b y f−1(x)=bx+af^{-1}(x) = bx + a con aa y bb reales, ¿cuál es el valor de a+ba + b?

If f(x)=ax+bf(x) = ax + b and f−1(x)=bx+af^{-1}(x) = bx + a with aa and bb real, what is the value of a+b?a + b?

−2-2

−1-1

00

11

22

Solución:

Como f(f−1(x))=x,f(f^{-1}(x)) = x, tenemos a(bx+a)+b=x.a(bx + a) + b = x. Igualar términos da ab=1ab = 1 y a2+b=0.a^2 + b = 0. Entonces b=1/ab = 1/a y a2+1/a=0,a^2 + 1/a = 0, así que a3=−1,a^3 = -1, lo que da a=−1a = -1 y b=−1.b = -1. Por lo tanto a+b=−2.a + b = -2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since f(f−1(x))=x,f(f^{-1}(x)) = x, we have a(bx+a)+b=x.a(bx + a) + b = x. Matching terms gives ab=1ab = 1 and a2+b=0.a^2 + b = 0. Then b=1/ab = 1/a and a2+1/a=0,a^2 + 1/a = 0, so a3=−1,a^3 = -1, giving a=−1a = -1 and b=−1.b = -1. Thus a+b=−2.a + b = -2.

Thus, the correct answer is A.

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