Question

Si $f(x) = ax + b$ y $f^{-1}(x) = bx + a$ con $a$ y $b$ reales, ¿cuál es el valor de $a + b$ ?

If $f(x) = ax + b$ and $f^{-1}(x) = bx + a$ with $a$ and $b$ real, what is the value of $a + b?$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

Respuesta: A

Conceptos:función sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Usa $f(f^{-1}(x)) = x$ .

Use $f(f^{-1}(x)) = x$

Pista grande:

Al desarrollar $a(bx + a) + b = x$ se obtiene $ab = 1$ y $a^2 + b = 0$ .

Expanding $a(bx + a) + b = x$ gives $ab = 1$ and $a^2 + b = 0$

Solución:

Como $f(f^{-1}(x)) = x,$ tenemos $a(bx + a) + b = x.$ Igualar términos da $ab = 1$ y $a^2 + b = 0.$ Entonces $b = \frac{1}{a}$ y $a^2 + \frac{1}{a} = 0,$ así que $a^3 = -1,$ lo que da $a = -1$ y $b = -1.$ Por lo tanto $a + b = -2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $f(f^{-1}(x)) = x,$ we have $a(bx + a) + b = x.$ Matching terms gives $ab = 1$ and $a^2 + b = 0.$ Then $b = \frac{1}{a}$ and $a^2 + \frac{1}{a} = 0,$ so $a^3 = -1,$ giving $a = -1$ and $b = -1.$ Thus $a + b = -2.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 12B Problema 13

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años