Soluciones del 2004 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En cada entrenamiento de baloncesto de la semana pasada, Jenny encestó el doble de tiros libres que en el entrenamiento anterior. En su quinto entrenamiento encestó $48$ tiros libres. ¿Cuántos tiros libres encestó en el primer entrenamiento?

At each basketball practice last week, Jenny made twice as many free throws as she made at the previous practice. At her fifth practice she made $48$ free throws. How many free throws did she make at the first practice?

$3$

$6$

$9$

$12$

$15$

Conceptos:sucesión geométrica trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 900

Solución:

En cada entrenamiento encestó el doble que en el anterior, así que hacia atrás dividimos entre dos. Partiendo del quinto entrenamiento con $48,$ los entrenamientos anteriores tuvieron $24,$ $12,$ $6,$ y $3$ tiros libres.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each practice she made twice the previous, so going backward we halve. From the fifth practice at $48,$ the earlier practices had $24,$ $12,$ $6,$ and $3$ free throws.

Thus, the correct answer is A.

2.

En la expresión $c \cdot a^b - d,$ los valores de $a, b, c,$ y $d$ son $0, 1, 2,$ y $3,$ aunque no necesariamente en ese orden. ¿Cuál es el valor máximo posible del resultado?

In the expression $c \cdot a^b - d,$ the values of $a, b, c,$ and $d$ are $0, 1, 2,$ and $3,$ although not necessarily in that order. What is the maximum possible value of the result?

$5$

$6$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1000

Solución:

Para maximizar, toma $d = 0.$ Con $a, b, c$ tomando $1, 2, 3,$ el término $c \cdot a^b$ es mayor cuando $c = 1$ y $a^b = 3^2 = 9.$ Esto da $1 \cdot 9 - 0 = 9,$ que supera a $2^3 = 8$ y a las demás asignaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

To maximize, set $d = 0.$ With $a, b, c$ taking $1, 2, 3,$ the term $c \cdot a^b$ is largest when $c = 1$ and $a^b = 3^2 = 9.$ This gives $1 \cdot 9 - 0 = 9,$ which beats $2^3 = 8$ and the other assignments.

Thus, the correct answer is D.

3.

Si $x$ y $y$ son enteros positivos para los cuales $2^x 3^y = 1296,$ ¿cuál es el valor de $x + y$ ?

If $x$ and $y$ are positive integers for which $2^x 3^y = 1296,$ what is the value of $x + y?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:factorización en primos exponente

Nivel de dificultad: 980

Solución:

Al factorizar, $1296 = 6^4 = 2^4 \cdot 3^4.$ Igualar los exponentes da $x = 4$ y $y = 4,$ así que $x + y = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Factoring, $1296 = 6^4 = 2^4 \cdot 3^4.$ Matching exponents gives $x = 4$ and $y = 4,$ so $x + y = 8.$

Thus, the correct answer is A.

4.

Se va a elegir un entero $x,$ con $10 \le x \le 99,$ y todas las elecciones son igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un dígito de $x$ sea un $7$ ?

An integer $x,$ with $10 \le x \le 99,$ is to be chosen. If all choices are equally likely, what is the probability that at least one digit of $x$ is a $7?$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{19}{90}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{1}{3}$

Conceptos:inclusión-exclusión dígitos probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

Hay $90$ enteros desde $10$ hasta $99.$ Diez tienen un dígito de unidades $7,$ y nueve tienen un dígito de decenas $7.$ Como $77$ se cuenta dos veces, hay $10 + 9 - 1 = 18$ con al menos un $7.$ La probabilidad es $\dfrac{18}{90} = \dfrac{1}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $90$ integers from $10$ to $99.$ Ten have a units digit $7,$ and nine have a tens digit $7.$ Since $77$ is counted twice, there are $10 + 9 - 1 = 18$ with at least one $7.$ The probability is $\dfrac{18}{90} = \dfrac{1}{5}.$

Thus, the correct answer is B.

5.

En un viaje de Estados Unidos a Canadá, Isabella llevó $d$ dólares estadounidenses. En la frontera los cambió todos, recibiendo $10$ dólares canadienses por cada $7$ dólares estadounidenses. Después de gastar $60$ dólares canadienses, le quedaron $d$ dólares canadienses. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $d$ ?

On a trip from the United States to Canada, Isabella took $d$ U.S. dollars. At the border she exchanged them all, receiving $10$ Canadian dollars for every $7$ U.S. dollars. After spending $60$ Canadian dollars, she had $d$ Canadian dollars left. What is the sum of the digits of $d?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

Al cambiar se obtienen $\dfrac{10d}{7}$ dólares canadienses. Después de gastar $60,$ tiene $\dfrac{10d}{7} - 60 = d.$ Entonces $\dfrac{3d}{7} = 60,$ así que $d = 140.$ La suma de sus dígitos es $1 + 4 + 0 = 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Exchanging gives $\dfrac{10d}{7}$ Canadian dollars. After spending $60,$ she has $\dfrac{10d}{7} - 60 = d.$ Then $\dfrac{3d}{7} = 60,$ so $d = 140.$ The sum of its digits is $1 + 4 + 0 = 5.$

Thus, the correct answer is A.

6.

El Aeropuerto Internacional de Minneapolis-St. Paul está a $8$ millas al suroeste del centro de St. Paul y a $10$ millas al sureste del centro de Minneapolis. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana al número de millas entre el centro de St. Paul y el centro de Minneapolis?

Minneapolis-St. Paul International Airport is $8$ miles southwest of downtown St. Paul and $10$ miles southeast of downtown Minneapolis. Which of the following is closest to the number of miles between downtown St. Paul and downtown Minneapolis?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:Teorema de Pitágoras estimación

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

El suroeste y el sureste son perpendiculares, así que el aeropuerto se ubica en el ángulo recto de un triángulo rectángulo con catetos $8$ y $10.$ La distancia entre los centros es $\sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{164} \approx 12.8,$ la más cercana a $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Southwest and southeast are perpendicular, so the airport sits at the right angle of a right triangle with legs $8$ and $10.$ The distance between downtowns is $\sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{164} \approx 12.8,$ closest to $13.$

Thus, the correct answer is A.

7.

Un cuadrado tiene lados de longitud $10,$ y un círculo centrado en uno de sus vértices tiene radio $10.$ ¿Cuál es el área de la unión de las regiones encerradas por el cuadrado y el círculo?

A square has sides of length $10,$ and a circle centered at one of its vertices has radius $10.$ What is the area of the union of the regions enclosed by the square and the circle?

$200 + 25\pi$

$100 + 75\pi$

$75 + 100\pi$

$100 + 100\pi$

$100 + 125\pi$

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

El cuadrado tiene área $100$ y el círculo tiene área $100\pi.$ Su solapamiento es el cuarto del círculo que queda dentro del cuadrado, con área $25\pi.$ La unión es $100 + 100\pi - 25\pi = 100 + 75\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The square has area $100$ and the circle has area $100\pi.$ Their overlap is the quarter of the circle lying inside the square, with area $25\pi.$ The union is $100 + 100\pi - 25\pi = 100 + 75\pi.$

Thus, the correct answer is B.

8.

Un tendero arma una exhibición de latas en la que la fila superior tiene una lata y cada fila inferior tiene dos latas más que la fila de encima. Si la exhibición contiene $100$ latas, ¿cuántas filas tiene?

A grocer makes a display of cans in which the top row has one can and each lower row has two more cans than the row above it. If the display contains $100$ cans, how many rows does it contain?

$5$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:suma de los primeros n números impares

Nivel de dificultad: 1220

Solución:

Las filas contienen $1, 3, 5, \ldots, (2n - 1)$ latas, y la suma de los primeros $n$ números impares es $n^2.$ Al plantear $n^2 = 100$ se obtiene $n = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The rows contain $1, 3, 5, \ldots, (2n - 1)$ cans, and the sum of the first $n$ odd numbers is $n^2.$ Setting $n^2 = 100$ gives $n = 10.$

Thus, the correct answer is D.

9.

El punto $(-3, 2)$ se rota $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen hasta el punto $B.$ Luego el punto $B$ se refleja en la recta $y = x$ hasta el punto $C.$ ¿Cuáles son las coordenadas de $C$ ?

The point $(-3, 2)$ is rotated $90^\circ$ clockwise around the origin to point $B.$ Point $B$ is then reflected in the line $y = x$ to point $C.$ What are the coordinates of $C?$

$(-3, -2)$

$(-2, -3)$

$(2, -3)$

$(2, 3)$

$(3, 2)$

Conceptos:transformación geometría analítica

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Al rotar $(-3, 2)$ en $90^\circ$ en sentido horario según $(x, y) \to (y, -x),$ se obtiene $B = (2, 3).$ Reflejar en $y = x$ intercambia las coordenadas, dando $C = (3, 2).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Rotating $(-3, 2)$ by $90^\circ$ clockwise sends $(x, y) \to (y, -x),$ giving $B = (2, 3).$ Reflecting in $y = x$ swaps coordinates, giving $C = (3, 2).$

Thus, the correct answer is E.

10.

Una corona circular es la región entre dos círculos concéntricos. Los círculos concéntricos de la figura tienen radios $b$ y $c,$ con $b \gt c.$ Sea $\overline{OX}$ un radio del círculo mayor, sea $\overline{XZ}$ tangente al círculo menor en $Z,$ y sea $\overline{OY}$ el radio del círculo mayor que contiene a $Z.$ Sean $a = XZ,$ $d = YZ,$ y $e = XY.$ ¿Cuál es el área de la corona circular?

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii $b$ and $c,$ with $b \gt c.$ Let $\overline{OX}$ be a radius of the larger circle, let $\overline{XZ}$ be tangent to the smaller circle at $Z,$ and let $\overline{OY}$ be the radius of the larger circle that contains $Z.$ Let $a = XZ,$ $d = YZ,$ and $e = XY.$ What is the area of the annulus?

$\pi a^2$

$\pi b^2$

$\pi c^2$

$\pi d^2$

$\pi e^2$

Conceptos:corona circular recta tangente Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1460

Solución:

El área de la corona circular es $\pi b^2 - \pi c^2.$ Como $\overline{XZ}$ es tangente al círculo menor en $Z,$ es perpendicular al radio $\overline{OZ},$ así que $\triangle OZX$ es rectángulo en $Z.$ Entonces $b^2 = c^2 + a^2,$ lo que da $b^2 - c^2 = a^2.$ El área es $\pi a^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The annulus area is $\pi b^2 - \pi c^2.$ Because $\overline{XZ}$ is tangent to the smaller circle at $Z,$ it is perpendicular to radius $\overline{OZ},$ so $\triangle OZX$ is right-angled at $Z.$ Then $b^2 = c^2 + a^2,$ giving $b^2 - c^2 = a^2.$ The area is $\pi a^2.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Todos los estudiantes de una clase de álgebra hicieron un examen de $100$ puntos. Cinco estudiantes obtuvieron $100,$ cada estudiante obtuvo al menos $60,$ y la nota media fue $76.$ ¿Cuál es el menor número posible de estudiantes en la clase?

All the students in an algebra class took a $100$ -point test. Five students scored $100,$ each student scored at least $60,$ and the mean score was $76.$ What is the smallest possible number of students in the class?

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Conceptos:media acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Cada nota de $100$ está $24$ por encima de la media, así que las cinco aportan $120$ puntos por encima de $76.$ Estos deben compensarse con puntos por debajo de la media, y cada estudiante restante está a lo sumo $76 - 60 = 16$ por debajo. Entonces se necesitan al menos $\dfrac{120}{16} = 7.5,$ es decir, $8$ estudiantes más, para un total de $13.$ Cinco $100$ y ocho $61$ logran esto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each score of $100$ is $24$ above the mean, so the five contribute $120$ points above $76.$ These must be balanced by points below the mean, and each remaining student is at most $76 - 60 = 16$ below. So at least $\dfrac{120}{16} = 7.5,$ hence $8$ more students are needed, for a total of $13.$ Five $100$ s and eight $61$ s achieve this.

Thus, the correct answer is D.

12.

En la sucesión $2001, 2002, 2003, \ldots,$ cada término a partir del cuarto se obtiene restando el término anterior de la suma de los dos términos que preceden a ese término. Por ejemplo, el cuarto término es $2001 + 2002 - 2003 = 2000.$ ¿Cuál es el término número $2004$ de esta sucesión?

In the sequence $2001, 2002, 2003, \ldots,$ each term after the third is found by subtracting the previous term from the sum of the two terms that precede that term. For example, the fourth term is $2001 + 2002 - 2003 = 2000.$ What is the $2004$ th term in this sequence?

$-2004$

$-2$

$0$

$4003$

$6007$

Conceptos:recursión sucesión aritmética reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

La regla da $2001,$ $2002,$ $2003,$ $2000,$ $2005,$ $1998, \ldots$ Los términos de índice par son $2002, 2000, 1998, \ldots,$ que decrecen en $2.$ El término número $2004$ es el número $1002$ de estos: $2002 + 1001(-2) = 0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The rule gives $2001,$ $2002,$ $2003,$ $2000,$ $2005,$ $1998, \ldots$ The even-indexed terms are $2002, 2000, 1998, \ldots,$ decreasing by $2.$ The $2004$ th term is the $1002$ nd of these: $2002 + 1001(-2) = 0.$

Thus, the correct answer is C.

13.

Si $f(x) = ax + b$ y $f^{-1}(x) = bx + a$ con $a$ y $b$ reales, ¿cuál es el valor de $a + b$ ?

If $f(x) = ax + b$ and $f^{-1}(x) = bx + a$ with $a$ and $b$ real, what is the value of $a + b?$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

Conceptos:función sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Como $f(f^{-1}(x)) = x,$ tenemos $a(bx + a) + b = x.$ Igualar términos da $ab = 1$ y $a^2 + b = 0.$ Entonces $b = 1/a$ y $a^2 + 1/a = 0,$ así que $a^3 = -1,$ lo que da $a = -1$ y $b = -1.$ Por lo tanto $a + b = -2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $f(f^{-1}(x)) = x,$ we have $a(bx + a) + b = x.$ Matching terms gives $ab = 1$ and $a^2 + b = 0.$ Then $b = 1/a$ and $a^2 + 1/a = 0,$ so $a^3 = -1,$ giving $a = -1$ and $b = -1.$ Thus $a + b = -2.$

Thus, the correct answer is A.

14.

En $\triangle ABC,$ $AB = 13,$ $AC = 5$ y $BC = 12.$ Los puntos $M$ y $N$ están en $\overline{AC}$ y $\overline{BC},$ respectivamente, con $CM = CN = 4.$ Los puntos $J$ y $K$ están en $\overline{AB}$ de modo que $\overline{MJ}$ y $\overline{NK}$ son perpendiculares a $\overline{AB}.$ ¿Cuál es el área del pentágono $CMJKN$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = 13,$ $AC = 5$ and $BC = 12.$ Points $M$ and $N$ lie on $\overline{AC}$ and $\overline{BC},$ respectively, with $CM = CN = 4.$ Points $J$ and $K$ are on $\overline{AB}$ so that $\overline{MJ}$ and $\overline{NK}$ are perpendicular to $\overline{AB}.$ What is the area of pentagon $CMJKN?$

$15$

$\dfrac{81}{5}$

$\dfrac{205}{12}$

$\dfrac{240}{13}$

$20$

Conceptos:semejanza triángulo rectángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1680

Solución:

Como $5^2 + 12^2 = 13^2,$ $\triangle ABC$ es rectángulo en $C$ con área $\tfrac12 (5)(12) = 30.$ Los pequeños triángulos rectángulos $\triangle AMJ$ y $\triangle NBK$ son cada uno semejantes a $\triangle ABC,$ con hipotenusas $AM = 5 - 4 = 1$ y $BN = 12 - 4 = 8.$ Sus áreas son $\left(\dfrac{1}{13}\right)^2 (30)$ y $\left(\dfrac{8}{13}\right)^2 (30).$

El pentágono es lo que queda: $\begin{gathered} \left(1 - \dfrac{1}{169} - \dfrac{64}{169}\right)(30) \\ {}= \dfrac{104}{169}(30) = \dfrac{240}{13}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ $\triangle ABC$ is right-angled at $C$ with area $\tfrac12 (5)(12) = 30.$ The small right triangles $\triangle AMJ$ and $\triangle NBK$ are each similar to $\triangle ABC,$ with hypotenuses $AM = 5 - 4 = 1$ and $BN = 12 - 4 = 8.$ Their areas are $\left(\dfrac{1}{13}\right)^2 (30)$ and $\left(\dfrac{8}{13}\right)^2 (30).$

The pentagon is what remains: $\begin{gathered} \left(1 - \dfrac{1}{169} - \dfrac{64}{169}\right)(30) \\ {}= \dfrac{104}{169}(30) = \dfrac{240}{13}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

15.

Los dos dígitos de la edad de Jack son los mismos que los dígitos de la edad de Bill, pero en orden inverso. Dentro de cinco años Jack tendrá el doble de la edad que Bill tendrá entonces. ¿Cuál es la diferencia entre sus edades actuales?

The two digits in Jack's age are the same as the digits in Bill's age, but in reverse order. In five years Jack will be twice as old as Bill will be then. What is the difference in their current ages?

$9$

$18$

$27$

$36$

$45$

Conceptos:edades valor posicional ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Sea Jack $10x + y$ y Bill $10y + x.$ Entonces $10x + y + 5 = 2(10y + x + 5),$ así que $8x = 19y + 5.$ Probando dígitos, solo $y = 1, x = 3$ funciona, así que Jack tiene $31$ y Bill tiene $13.$ La diferencia es $31 - 13 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let Jack be $10x + y$ and Bill be $10y + x.$ Then $10x + y + 5 = 2(10y + x + 5),$ so $8x = 19y + 5.$ Testing digits, only $y = 1, x = 3$ works, so Jack is $31$ and Bill is $13.$ The difference is $31 - 13 = 18.$

Thus, the correct answer is B.

16.

Una función $f$ se define por $f(z) = i\overline{z},$ donde $i = \sqrt{-1}$ y $\overline{z}$ es el conjugado complejo de $z.$ ¿Cuántos valores de $z$ satisfacen a la vez $|z| = 5$ y $f(z) = z$ ?

A function $f$ is defined by $f(z) = i\overline{z},$ where $i = \sqrt{-1}$ and $\overline{z}$ is the complex conjugate of $z.$ How many values of $z$ satisfy both $|z| = 5$ and $f(z) = z?$

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

Conceptos:número complejo geometría analítica

Nivel de dificultad: 1610

Solución:

Escribiendo $z = x + iy,$ obtenemos $f(z) = i(x - iy) = y + ix.$ Poner $f(z) = z$ da $y = x,$ que es una recta que pasa por el origen. La condición $|z| = 5$ es un círculo, y una recta que pasa por el centro corta al círculo en $2$ puntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Writing $z = x + iy,$ we get $f(z) = i(x - iy) = y + ix.$ Setting $f(z) = z$ gives $y = x,$ which is a line through the origin. The condition $|z| = 5$ is a circle, and a line through the center meets the circle in $2$ points.

Thus, the correct answer is C.

17.

Para ciertos números reales $a$ y $b,$ la ecuación $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0$ tiene tres raíces positivas distintas. Si la suma de los logaritmos en base $2$ de las raíces es $5,$ ¿cuál es el valor de $a$ ?

For some real numbers $a$ and $b,$ the equation $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0$ has three distinct positive roots. If the sum of the base- $2$ logarithms of the roots is $5,$ what is the value of $a?$

$-256$

$-64$

$-8$

$64$

$256$

Conceptos:Fórmulas de Vieta logaritmo

Nivel de dificultad: 1770

Solución:

La suma de los logaritmos en base $2$ es $\log_2(r_1 r_2 r_3) = 5,$ así que $r_1 r_2 r_3 = 2^5 = 32.$ Por las fórmulas de Vieta en $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a,$ el producto de las raíces es $-\dfrac{a}{8}.$ Por lo tanto $-\dfrac{a}{8} = 32,$ lo que da $a = -256.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum of the base- $2$ logarithms is $\log_2(r_1 r_2 r_3) = 5,$ so $r_1 r_2 r_3 = 2^5 = 32.$ By Vieta's formulas on $8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a,$ the product of the roots is $-\dfrac{a}{8}.$ Thus $-\dfrac{a}{8} = 32,$ giving $a = -256.$

Thus, the correct answer is A.

18.

Los puntos $A$ y $B$ están en la parábola $y = 4x^2 + 7x - 1,$ y el origen es el punto medio de $\overline{AB}.$ ¿Cuál es la longitud de $AB$ ?

Points $A$ and $B$ are on the parabola $y = 4x^2 + 7x - 1,$ and the origin is the midpoint of $\overline{AB}.$ What is the length of $AB?$

$2\sqrt{5}$

$5 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$5 + \sqrt{2}$

$7$

$5\sqrt{2}$

Conceptos:parábola punto medio fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1740

Solución:

Sea $B = (a, b)$ y $A = (-a, -b).$ Entonces $4a^2 + 7a - 1 = b$ y $4a^2 - 7a - 1 = -b.$ Restando se obtiene $14a = 2b,$ así que $b = 7a.$ Luego $4a^2 + 7a - 1 = 7a$ da $a^2 = \dfrac14,$ y $b^2 = 49a^2 = \dfrac{49}{4}.$ Así $AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}$ $= 2\sqrt{\dfrac{50}{4}} = 5\sqrt{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $B = (a, b)$ and $A = (-a, -b).$ Then $4a^2 + 7a - 1 = b$ and $4a^2 - 7a - 1 = -b.$ Subtracting gives $14a = 2b,$ so $b = 7a.$ Then $4a^2 + 7a - 1 = 7a$ gives $a^2 = \dfrac14,$ and $b^2 = 49a^2 = \dfrac{49}{4}.$ So $AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}$ $= 2\sqrt{\dfrac{50}{4}} = 5\sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is E.

19.

Un cono truncado tiene bases horizontales con radios $18$ y $2.$ Una esfera es tangente a la superficie superior, inferior y lateral del cono truncado. ¿Cuál es el radio de la esfera?

A truncated cone has horizontal bases with radii $18$ and $2.$ A sphere is tangent to the top, bottom, and lateral surface of the truncated cone. What is the radius of the sphere?

$6$

$4\sqrt{5}$

$9$

$10$

$6\sqrt{3}$

Conceptos:cono esfera recta tangente

Nivel de dificultad: 1870

Solución:

La sección axial es un trapecio $ABCD$ con lados paralelos $2$ y $18$ y un círculo inscrito (un círculo máximo de la esfera). Por igualdad de longitudes de tangentes desde $B$ y $C,$ el lado oblicuo $BC = 18 + 2 = 20.$ Al trazar una perpendicular desde $C$ hasta la base inferior se obtiene un triángulo rectángulo con cateto horizontal $18 - 2 = 16,$ así que la altura es $\sqrt{20^2 - 16^2} = 12.$ El radio de la esfera es la mitad de la altura, $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The axial cross-section is a trapezoid $ABCD$ with parallel sides $2$ and $18$ and an inscribed circle (a great circle of the sphere). By equal tangent lengths from $B$ and $C,$ the slant side $BC = 18 + 2 = 20.$ Dropping a perpendicular from $C$ to the bottom base gives a right triangle with horizontal leg $18 - 2 = 16,$ so the height is $\sqrt{20^2 - 16^2} = 12.$ The sphere's radius is half the height, $6.$

Thus, the correct answer is A.

20.

Cada cara de un cubo se pinta de rojo o de azul, cada una con probabilidad $\tfrac12.$ El color de cada cara se determina de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el cubo pintado pueda colocarse sobre una superficie horizontal de modo que las cuatro caras verticales sean todas del mismo color?

Each face of a cube is painted either red or blue, each with probability $\tfrac12.$ The color of each face is determined independently. What is the probability that the painted cube can be placed on a horizontal surface so that the four vertical faces are all the same color?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:geometría del cubo análisis por casos probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Hay $2^6 = 64$ coloraciones. Existe una orientación adecuada cuando las seis caras son de un color ( $2$ maneras), exactamente cinco caras son de un color ( $2 \cdot 6 = 12$ maneras), o cuatro caras son de un color con el otro color en un par de caras opuestas ( $2 \cdot 3 = 6$ maneras). Esto da $2 + 12 + 6 = 20$ coloraciones favorables, así que la probabilidad es $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $2^6 = 64$ colorings. A suitable orientation exists when all six faces are one color ( $2$ ways), exactly five faces are one color ( $2 \cdot 6 = 12$ ways), or four faces are one color with the other color on a pair of opposite faces ( $2 \cdot 3 = 6$ ways). That is $2 + 12 + 6 = 20$ favorable colorings, so the probability is $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

21.

La gráfica de $2x^2 + xy + 3y^2$ $- 11x - 20y + 40 = 0$ es una elipse en el primer cuadrante del plano $xy$ . Sean $a$ y $b$ los valores máximo y mínimo de $\dfrac{y}{x}$ sobre todos los puntos $(x, y)$ de la elipse. ¿Cuál es el valor de $a + b$ ?

The graph of $2x^2 + xy + 3y^2$ $- 11x - 20y + 40 = 0$ is an ellipse in the first quadrant of the $xy$ -plane. Let $a$ and $b$ be the maximum and minimum values of $\dfrac{y}{x}$ over all points $(x, y)$ on the ellipse. What is the value of $a + b?$

$3$

$\sqrt{10}$

$\dfrac{7}{2}$

$\dfrac{9}{2}$

$2\sqrt{14}$

Conceptos:elipse recta tangente Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2080

Solución:

Las pendientes $a$ y $b$ son los valores de $m$ para los cuales $y = mx$ corta a la elipse en exactamente un punto. Al sustituir se obtiene $\begin{aligned} &(3m^2 + m + 2)x^2 \\ &\quad {}- (20m + 11)x + 40 = 0. \end{aligned}$ Igualar a cero su discriminante da $-80m^2 + 280m - 199 = 0.$ Por las fórmulas de Vieta, $a + b = \dfrac{280}{80} = \dfrac{7}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The slopes $a$ and $b$ are the values of $m$ for which $y = mx$ meets the ellipse in exactly one point. Substituting gives $\begin{aligned} &(3m^2 + m + 2)x^2 \\ &\quad {}- (20m + 11)x + 40 = 0. \end{aligned}$ Setting its discriminant to zero yields $-80m^2 + 280m - 199 = 0.$ By Vieta's formulas, $a + b = \dfrac{280}{80} = \dfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

22.

El cuadrado $\begin{array}{|c|c|c|} \hline 50 & b & c \\ \hline d & e & f \\ \hline g & h & 2 \\ \hline \end{array}$ es un cuadrado mágico multiplicativo. Es decir, el producto de los números en cada fila, columna y diagonal es el mismo. Si todas las entradas son enteros positivos, ¿cuál es la suma de los posibles valores de $g$ ?

The square $\begin{array}{|c|c|c|} \hline 50 & b & c \\ \hline d & e & f \\ \hline g & h & 2 \\ \hline \end{array}$ is a multiplicative magic square. That is, the product of the numbers in each row, column, and diagonal is the same. If all the entries are positive integers, what is the sum of the possible values of $g?$

$10$

$25$

$35$

$62$

$136$

Conceptos:cuadrado mágico sistema de ecuaciones divisibilidad

Nivel de dificultad: 1940

Solución:

A partir de la igualdad de los productos por fila, columna y diagonal, cada entrada puede escribirse en términos de $b:$ $h = \dfrac{100}{b},$ $g = \dfrac{100}{c},$ $f = \dfrac{100}{d}.$ Comparando filas y columnas se obtiene $c = \dfrac{20}{b}$ y $d = \dfrac{4}{b},$ de donde $g = 5b$ y $e = 10.$

Todas las entradas son enteros positivos exactamente cuando $b = 1, 2,$ o $4,$ lo que da $g = 5, 10, 20.$ Su suma es $35.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From the equal row, column, and diagonal products, every entry can be written in terms of $b:$ $h = \dfrac{100}{b},$ $g = \dfrac{100}{c},$ $f = \dfrac{100}{d}.$ Comparing rows and columns gives $c = \dfrac{20}{b}$ and $d = \dfrac{4}{b},$ hence $g = 5b$ and $e = 10.$

All entries are positive integers exactly when $b = 1, 2,$ or $4,$ giving $g = 5, 10, 20.$ Their sum is $35.$

Thus, the correct answer is C.

23.

El polinomio $x^3 - 2004x^2 + mx + n$ tiene coeficientes enteros y tres ceros positivos distintos. Exactamente uno de ellos es entero, y es la suma de los otros dos. ¿Cuántos valores de $n$ son posibles?

The polynomial $x^3 - 2004x^2 + mx + n$ has integer coefficients and three distinct positive zeros. Exactly one of these is an integer, and it is the sum of the other two. How many values of $n$ are possible?

$250{,}000$

$250{,}250$

$250{,}500$

$250{,}750$

$251{,}000$

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2280

Solución:

Sea el cero entero $a.$ Los otros dos ceros son conjugados irracionales $\dfrac{a}{2} \pm r,$ cuya suma $a$ es igual al cero entero. La fórmula de Vieta para el coeficiente de $x^2$ da $a + a = 2004,$ así que $a = 1002$ y el par conjugado es $501 \pm r.$

Los coeficientes son enteros exactamente cuando $r^2$ es un entero positivo, y los ceros son positivos y distintos cuando $1 \le r^2 \le 501^2 - 1 = 251{,}000.$ Como $r$ no puede ser entero, excluimos los $500$ valores de cuadrado perfecto $r^2 = 1^2, \ldots, 500^2,$ dejando $251{,}000 - 500 = 250{,}500$ valores de $n.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the integer zero be $a.$ The other two zeros are irrational conjugates $\dfrac{a}{2} \pm r,$ whose sum $a$ equals the integer zero. Vieta's formula on the $x^2$ coefficient gives $a + a = 2004,$ so $a = 1002$ and the conjugate pair is $501 \pm r.$

The coefficients are integers exactly when $r^2$ is a positive integer, and the zeros are positive and distinct when $1 \le r^2 \le 501^2 - 1 = 251{,}000.$ Since $r$ cannot be an integer, we exclude the $500$ perfect-square values $r^2 = 1^2, \ldots, 500^2,$ leaving $251{,}000 - 500 = 250{,}500$ values of $n.$

Thus, the correct answer is C.

24.

En $\triangle ABC,$ $AB = BC,$ y $\overline{BD}$ es una altura. El punto $E$ está en la prolongación de $\overline{AC}$ tal que $BE = 10.$ Los valores de $\tan \angle CBE,$ $\tan \angle DBE,$ y $\tan \angle ABE$ forman una progresión geométrica, y los valores de $\cot \angle DBE,$ $\cot \angle CBE,$ $\cot \angle DBC$ forman una progresión aritmética. ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = BC,$ and $\overline{BD}$ is an altitude. Point $E$ is on the extension of $\overline{AC}$ such that $BE = 10.$ The values of $\tan \angle CBE,$ $\tan \angle DBE,$ and $\tan \angle ABE$ form a geometric progression, and the values of $\cot \angle DBE,$ $\cot \angle CBE,$ $\cot \angle DBC$ form an arithmetic progression. What is the area of $\triangle ABC?$

$16$

$\dfrac{50}{3}$

$10\sqrt{3}$

$8\sqrt{5}$

$18$

Conceptos:identidad trigonométrica sucesión geométrica triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Sea $\angle DBE = \alpha$ y $\angle DBC = \beta.$ Como $\overline{BD}$ es la altura del triángulo isósceles, $\angle CBE = \alpha - \beta$ y $\angle ABE = \alpha + \beta.$ La progresión geométrica da $\tan(\alpha - \beta)\tan(\alpha + \beta) = \tan^2\alpha,$ que se simplifica a $\tan^2\beta(\tan^4\alpha - 1) = 0,$ así que $\tan\alpha = 1$ y $\alpha = 45^\circ.$

Escribiendo $DC = a$ y $BD = b,$ la progresión aritmética $\cot\angle DBE,$ $\cot\angle CBE,$ $\cot\angle DBC$ se convierte en $1, \dfrac{b + a}{b - a}, \dfrac{b}{a},$ lo que fuerza $b = 3a.$ Con $BE = 10$ y $\angle DBE = 45^\circ,$ obtenemos $b = \dfrac{BE}{\sqrt2} = 5\sqrt2,$ así que $a = \dfrac{5\sqrt2}{3}.$

El área de $\triangle ABC$ es $\tfrac12 (AC)(BD) = ab$ $= 5\sqrt2 \cdot \dfrac{5\sqrt2}{3}$ $= \dfrac{50}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $\angle DBE = \alpha$ and $\angle DBC = \beta.$ Since $\overline{BD}$ is the altitude of the isosceles triangle, $\angle CBE = \alpha - \beta$ and $\angle ABE = \alpha + \beta.$ The geometric progression gives $\tan(\alpha - \beta)\tan(\alpha + \beta) = \tan^2\alpha,$ which simplifies to $\tan^2\beta(\tan^4\alpha - 1) = 0,$ so $\tan\alpha = 1$ and $\alpha = 45^\circ.$

Writing $DC = a$ and $BD = b,$ the arithmetic progression $\cot\angle DBE,$ $\cot\angle CBE,$ $\cot\angle DBC$ becomes $1, \dfrac{b + a}{b - a}, \dfrac{b}{a},$ forcing $b = 3a.$ With $BE = 10$ and $\angle DBE = 45^\circ,$ we get $b = \dfrac{BE}{\sqrt2} = 5\sqrt2,$ so $a = \dfrac{5\sqrt2}{3}.$

The area of $\triangle ABC$ is $\tfrac12 (AC)(BD) = ab$ $= 5\sqrt2 \cdot \dfrac{5\sqrt2}{3}$ $= \dfrac{50}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Dado que $2^{2004}$ es un número de $604$ dígitos cuyo primer dígito es $1,$ ¿cuántos elementos del conjunto $S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2003}\}$ tienen primer dígito $4$ ?

Given that $2^{2004}$ is a $604$ -digit number whose first digit is $1,$ how many elements of the set $S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2003}\}$ have a first digit of $4?$

$194$

$195$

$196$

$197$

$198$

Conceptos:dígitos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2360

Solución:

La menor potencia de $2$ con cualquier cantidad dada de dígitos tiene dígito principal $1.$ Como $2^{2004}$ tiene $604$ dígitos, hay $603$ elementos de $S$ con dígito principal $1.$

Siempre que $2^k$ empieza por $1,$ $2^{k+1}$ empieza por $2$ o $3,$ y $2^{k+2}$ empieza por $4, 5, 6,$ o $7.$ Así que $603$ elementos empiezan por $2$ o $3,$ $603$ empiezan por $4$ hasta $7,$ y $2004 - 3(603) = 195$ empiezan por $8$ o $9.$

Finalmente, $2^k$ empieza por $8$ o $9$ exactamente cuando $2^{k-1}$ empieza por $4,$ así que hay $195$ elementos con primer dígito $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The smallest power of $2$ with any given digit-count has leading digit $1.$ Since $2^{2004}$ has $604$ digits, there are $603$ elements of $S$ with leading digit $1.$

Whenever $2^k$ leads with $1,$ $2^{k+1}$ leads with $2$ or $3,$ and $2^{k+2}$ leads with $4, 5, 6,$ or $7.$ So $603$ elements lead with $2$ or $3,$ $603$ lead with $4$ through $7,$ and $2004 - 3(603) = 195$ lead with $8$ or $9.$

Finally, $2^k$ leads with $8$ or $9$ exactly when $2^{k-1}$ leads with $4,$ so there are $195$ elements with first digit $4.$

Thus, the correct answer is B.