Question

Una bola roja y una bola verde se lanzan de manera aleatoria e independiente en cajas numeradas con los enteros positivos, de modo que para cada bola la probabilidad de que caiga en la caja $k$ es $2^{-k}$ para $k=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ ¿Cuál es la probabilidad de que la bola roja caiga en una caja de número mayor que la bola verde?

A red ball and a green ball are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin $k$ is $2^{-k}$ for $k=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ What is the probability that the red ball is tossed into a higher-numbered bin than the green ball?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{3}{7}$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica simetría probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Por simetría, que la roja sea mayor y que la verde sea mayor son igual de probables

By symmetry, red-higher and green-higher are equally likely

Pista grande:

Halla la probabilidad de un empate, $\displaystyle\sum_{k\ge1}\left(2^{-k}\right)^2$

Find the probability of a tie, $\displaystyle\sum_{k\ge1}\left(2^{-k}\right)^2$

Solución:

La probabilidad de que las bolas caigan en la misma caja es $\begin{gathered} \sum_{k=1}^\infty \left(2^{-k}\right)^2=\sum_{k=1}^\infty 4^{-k} \\ =\dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\dfrac13. \end{gathered}$

Por simetría, que la bola roja sea mayor y que la bola verde sea mayor son igual de probables, así que cada una tiene probabilidad $\dfrac{1-\tfrac13}{2}=\dfrac13.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The probability the balls land in the same bin is $\begin{gathered} \sum_{k=1}^\infty \left(2^{-k}\right)^2=\sum_{k=1}^\infty 4^{-k} \\ =\dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\dfrac13. \end{gathered}$

By symmetry, the red ball being higher and the green ball being higher are equally likely, so each has probability $\dfrac{1-\tfrac13}{2}=\dfrac13.$

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 13

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años